已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象开口向上，且经过点 $A\left(0,\frac{3}{2}\right),B\left(2,-\frac{1}{2}\right)$.

（1）求 $b$的值（用含 $a$的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在 $1⩽x⩽3$时， $y$的最大值为1，求 $a$的值；

（3）将线段 $\mathit{AB}$向右平移 $2$个单位得到线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$.若线段 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c+4a-1$仅有一个交点，求 $a$的取值范围.