初中数学解答题

为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为 $A，B，C，D$四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

等级	成绩（ $x$）	人数
A	$90＜x\le 100$	$m$
B	$80＜x\le 90$	$24$
C	70＜x≤80	$14$
D	$x\le 70$	$10$

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中 $m＝$＿＿＿＿＿；扇形统计图中， $B$等级所占百分比是＿＿＿＿＿， $C$等级对应的扇形圆心角为＿＿＿＿＿度；

（2）若全校有 $1400$人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 $A$等级的共有＿＿＿＿＿人；

（3）若全校成绩为 $100$分的学生有甲、乙、丙、丁 $4$人，学校将从这 $4$人中随机选出 $2$人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有 $1$人被选中的概率．

先化简，再求值： $\left(\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}-\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}\right)$ $÷\frac{\mathrm{b}}{{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{ab}+{\mathrm{b}}^2}$，其中 $a＝（\frac{1}{3}{）}^{﹣1}$， $b＝（﹣2022{）}^0$．

已知方程组 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+\mathrm{y}=3\mathrm{①}\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=1\mathrm{②}\end{array}\right.$的解满足 $2kx﹣3y＜5$，求 $k$的取值范围．

抛物线 $y＝x^2﹣2x﹣3$交 $x$轴于 $A，B$两点（ $A$在 $B$的左边）， $C$是第一象限抛物线上一点，直线 $AC$交 $y$轴于点 $P$．

（1）直接写出 $A，B$两点的坐标；

（2）如图（1），当 $OP＝OA$时，在抛物线上存在点 $D$（异于点 $B$），使 $B，D$两点到 $AC$的距离相等，求出所有满足条件的点 $D$的横坐标；

（3）如图（2），直线 $BP$交抛物线于另一点 $E$，连接 $CE$交 $y$轴于点 $F$，点 $C$的横坐标为 $m$．求 $\frac{\mathit{FP}}{\mathit{OP}}$的值（用含 $m$的式子表示）．

【问题提出】

如图（1），在 $△ABC$中， $AB＝AC$， $D$是 $AC$的中点，延长 $BC$至点 $E$，使 $DE＝DB$，延长 $ED$交 $AB$于点 $F$，探究 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值．

【问题探究】

（1）先将问题特殊化．如图（2），当 $\angle BAC＝60°$时，直接写出 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】

如图（3），在 $△ABC$中， $AB＝AC$， $D$是 $AC$的中点， $G$是边 $BC$上一点， $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{n}（n＜2）$，延长 $BC$至点 $E$，使 $DE＝DG$，延长 $ED$交 $AB$于点 $F$．直接写出 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值（用含 $n$的式子表示）．

在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 $A$处开始减速，此时白球在黑球前面 $70cm$处．

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$（单位： $cm/s$）、运动距离 $y$（单位： $cm$）随运动时间 $t$（单位： $s$）变化的数据，整理得下表．

运动时间t/s	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
运动速度v/cm/s	$10$	$9.5$	9	$8.5$	$8$
运动距离y/cm	$0$	$9.75$	19	$27.75$	$36$

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$与运动时间 $t$之间成一次函数关系，运动距离 $y$与运动时间 $t$之间成二次函数关系．

（1）直接写出 $v$关于 $t$的函数解析式和 $y$关于 $t$的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为 $64cm$时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以 $2cm/s$的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

如图，以 $AB$为直径的 $\odot O$经过 $△ABC$的顶点 $C$， $AE，BE$分别平分 $\angle BAC$和 $\angle ABC$， $AE$的延长线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $BD$．

（1）判断 $△BDE$的形状，并证明你的结论；

（2）若 $AB＝10$， $BE＝2\sqrt{10}$，求 $BC$的长．

为庆祝中国共青团成立 $100$周年，某校开展四项活动： $A$项参观学习， $B$项团史宣讲， $C$项经典诵读， $D$项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是＿＿＿＿＿， $B$项活动所在扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿＿，条形统计图中 $C$项活动的人数是＿＿＿＿＿；

（2）若该校约有 $2000$名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

如图，在四边形 $ABCD$中， $AD\parallel BC$， $\angle B＝80°$．

（1）求 $\angle BAD$的度数；

（2） $AE$平分 $\angle BAD$交 $BC$于点 $E$， $\angle BCD＝50°$．求证： $AE\parallel DC$．

解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x-2\ge -5\mathit{，①}\\ 3x＜x+2．②\end{array}\right.$请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得＿＿＿＿＿；

（2）解不等式②，得＿＿＿＿＿；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是＿＿＿＿＿．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+bx﹣3$经过点 $B（6，0）$和点 $D（4，﹣3）$，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，与 $y$轴交于点 $C$，作直线 $AD$．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线 $AD$的函数表达式；

（2）点 $E$是直线 $AD$下方的抛物线上一点，连接 $BE$交 $AD$于点 $F$，连接 $BD，DE$， $△BDF$的面积记为 $S_1$， $△DEF$的面积记为 $S_2$，当 $S_1＝2S_2$时，求点 $E$的坐标；

（3）点 $G$为抛物线的顶点，将抛物线图象中 $x$轴下方的部分沿 $x$轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为 $C_1$，点 $C$的对应点为 $C\prime$，点 $G$的对应点为 $G\prime$，将曲线 $C_1$沿 $y$轴向下平移 $n$个单位长度 $（0＜n＜6）$．曲线 $C_1$与直线 $BC$的公共点中，选两个公共点记作点 $P$和点 $Q$，若四边形 $C\prime G\prime QP$是平行四边形，直接写出点 $P$的坐标．

【特例感知】

（1）如图1， $△AOB$和 $△COD$是等腰直角三角形， $\angle AOB＝\angle COD＝90°$，点 $C$在 $OA$上，点 $D$在 $BO$的延长线上，连接 $AD，BC$，线段 $AD$与 $BC$的数量关系是＿＿＿＿＿＿；

【类比迁移】

（2）如图2，将图1中的 $△COD$绕着点 $O$顺时针旋转 $\alpha （0°＜\alpha ＜90°）$，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．

【方法运用】

（3）如图3，若 $AB＝8$，点 $C$是线段 $AB$外一动点， $AC＝3\sqrt{3}$，连接 $BC$．

①若将 $CB$绕点 $C$逆时针旋转 $90°$得到 $CD$，连接 $AD$，则 $AD$的最大值是＿＿＿＿＿＿；

②若以 $BC$为斜边作 $Rt△BCD$（ $B，C，D$三点按顺时针排列）， $\angle CDB＝90°$，连接 $AD$，当 $\angle CBD＝\angle DAB＝30°$时，直接写出 $AD$的值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y＝kx+b$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B（0，9）$，与直线 $OC$交于点．

（1）求直线 $AB$的函数表达式；

（2）过点 $C$作 $CD\perp x$轴于点 $D$，将 $△ACD$沿射线 $CB$平移得到的三角形记为 $△A\prime C\prime D\prime$，点 $A，C，D$的对应点分别为 $A\prime ，C\prime ，D\prime$，若 $△A\prime C\prime D\prime$与 $△BOC$重叠部分的面积为 $S$，平移的距离 $CC\prime ＝m$，当点 $A\prime$与点 $B$重合时停止运动．

①若直线 $C\prime D\prime$交直线 $OC$于点 $E$，则线段 $C\prime E$的长为＿＿＿＿＿＿（用含有 $m$的代数式表示）；

②当 $0＜m＜\frac{10}{3}$时， $S$与 $m$的关系式为＿＿＿＿＿＿；

③当 $S=\frac{24}{5}$时， $m$的值为＿＿＿＿＿＿．

如图，四边形 $ABCD$内接于 $ABCD$， $AD$是 $\odot O$的直径， $AD，BC$的延长线交于点 $E$，延长 $CB$交 $PA$于点 $P$， $\angle BAP+\angle DCE＝90°$．

（1）求证： $PA$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $AC$， $\sin \angle BAC=\frac{1}{3}$， $BC＝2$， $AD$的长为＿＿＿＿＿＿．

如图，用一根 $60$厘米的铁丝制作一个“日”字型框架 $ABCD$，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架 $ABCD$的面积为 $144$平方厘米，则 $AB$的长为多少厘米？

（2）矩形框架 $ABCD$面积的最大值为＿＿＿＿＿＿平方厘米．