初中数学计算题

有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是 $\frac{1}{1\times 2}$ ；

第二个数是 $\frac{1}{2\times 3}$ ；

第三个数是 $\frac{1}{3\times 4}$ ；

$\dots$

对任何正整数 $n$ ，第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ ．

（1）经过探究，我们发现： $\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ ，

设这列数的第5个数为 $a$ ，那么 $a>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a<\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ，哪个正确？

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第 $n$ 个数（即用正整数 $n$ 表示第 $n$ 数），并且证明你的猜想满足"第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ "；

（3）设 $M$ 表示 $\frac{1}{1^2}$ ， $\frac{1}{2^2}$ ， $\frac{1}{3^2}$ ， $\dots$ ， $\frac{1}{{2016}^2}$ ，这2016个数的和，即 $M=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots \frac{1}{{2016}^2}$ ，

求证： $\frac{2016}{2017}<M<\frac{4031}{2016}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C(0,3)$ ， $\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{3}{4}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $H$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上任意一点，过 $H$ 作直线 $\mathit{HN}\perp x$ 轴于点 $N$ ，交抛物线于点 $P$ ，求线段 $\mathit{PH}$ 的最大值；

（3）点 $M$ 是抛物线上任意一点，连接 $\mathit{CM}$ ，以 $\mathit{CM}$ 为边作正方形 $\mathit{CMEF}$ ，是否存在点 $M$ 使点 $E$ 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $M$， $N$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上的动点（不与点 $B$， $C$， $D$重合）， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$分别交 $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$，且 $\angle \mathit{MAN}$始终保持 $45°$不变．

（1）求证： $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AM}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{FM}$；

（3）请探索：在 $\angle \mathit{MAN}$的旋转过程中，当 $\angle \mathit{BAM}$等于多少度时， $\angle \mathit{FMN}=\angle \mathit{BAM}$？写出你的探索结论，并加以证明．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A(1,0)$， $C(0,3)$两点，与 $x$轴交于点 $B$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点，其中点 $A(0,1)$，点 $B(-9,10)$， $\mathit{AC}//x$轴，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $P$且与 $y$轴平行的直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$，当四边形 $\mathit{AECP}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$为抛物线的顶点时，在直线 $\mathit{AC}$上是否存在点 $Q$，使得以 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，若存在，求出点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-2,0)$，点 $B(4,0)$，点 $D(2,4)$，与 $y$轴交于点 $C$，作直线 $\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CD}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2） $E$是抛物线上的点，求满足 $\angle \mathit{ECD}=\angle \mathit{ACO}$的点 $E$的坐标；

（3）点 $M$在 $y$轴上且位于点 $C$上方，点 $N$在直线 $\mathit{BC}$上，点 $P$为第一象限内抛物线上一点，若以点 $C$， $M$， $N$， $P$为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

（1）已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形，其底边是 $\mathit{BC}$，点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上， $E$是直线 $\mathit{BC}$上一点，且 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{DCE}$，若 $\angle A=60°$（如图①）．求证： $\mathit{EB}=\mathit{AD}$；

（2）若将（1）中的“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上”改为“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；

（3）若将（1）中的“若 $\angle A=60°$”改为“若 $\angle A=90°$”，其它条件不变，则 $\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AD}}$的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）

如图1，抛物线 $y=-\frac{3}{5}[{(x-2)}^2+n]$与 $x$轴交于点 $A(m-2,0)$和 $B(2m+3,0)$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求 $m$、 $n$的值；

（2）如图2，点 $N$为抛物线上的一动点，且位于直线 $\mathit{BC}$上方，连接 $\mathit{CN}$、 $\mathit{BN}$．求 $\mathit{\Delta NBC}$面积的最大值；

（3）如图3，点 $M$、 $P$分别为线段 $\mathit{BC}$和线段 $\mathit{OB}$上的动点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PC}$，是否存在这样的点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCM}$为等腰三角形， $\mathit{\Delta PMB}$为直角三角形同时成立？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $O$．点 $P$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；同时，点 $Q$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 $\mathit{PO}$并延长，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $Q$作 $\mathit{QF}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta AOP}$是等腰三角形？

（2）设五边形 $\mathit{OECQF}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，试确定 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形}\mathit{OECQF}}:S_{\mathit{\Delta ACD}}=9:16$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{COP}$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-2x+10$与 $x$轴， $y$轴相交于 $A$， $B$两点，点 $C$的坐标是 $(8,4)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求过 $O$， $A$， $C$三点的抛物线的解析式，并判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，沿 $\mathit{OB}$以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动；同时，动点 $Q$从点 $B$出发，沿 $\mathit{BC}$以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{PA}=\mathit{QA}$？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 $M$，使以 $A$， $B$， $M$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$， $B(9,0)$和 $C(0,4)$． $\mathit{CD}$垂直于 $y$轴，交抛物线于点 $D$， $\mathit{DE}$垂直与 $x$轴，垂足为 $E$， $l$是抛物线的对称轴，点 $F$是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点 $D$的坐标；

（2）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移到其直角边 $\mathit{OC}$与对称轴 $l$重合，再沿对称轴 $l$向上平移到点 $C$与点 $F$重合，得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$，求此时 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$与矩形 $\mathit{OCDE}$重叠部分的图形的面积；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位长度 $(0<t⩽6)$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$， $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$与 $\text{Rt}\Delta \text{OED}$重叠部分的图形面积记为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数表达式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．