初中数学计算题

把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸，请思考并解决下列问题：
(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明；

(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸，请说明理由；

(3)不难发现：将一张标准纸按如图3所示方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB＝1，，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2014次对开后所得标准纸的周长．

如图，晚间小明站在距离路灯5m(即BD＝5m)的地面上，发现他的影子长DF为4m．已知小明的身高为1.6m，如果小明再向远离路灯的方向走4m，则此时小明的影长是多少？

求满足的所有素数p和正整数m.

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9，
点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EF∥AC，交AD于点F(当E运
动到C时，EF与AC重合巫台)．把△DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，
△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。
(1) 求CD的长及∠1的度数；
(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 和 $\mathit{BC}$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $\mathit{DEFP}$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $\mathit{CP}$ ， $\mathit{CD}$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta DCE}$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OADB}$的顶点 $A$， $B$的坐标分别为 $A(-6,0)$， $B(0,4)$．过点 $C(-6,1)$的双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$与矩形 $\mathit{OADB}$的边 $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）填空： $\mathit{OA}=$　       　， $k=$　      　，点 $E$的坐标为　       　；

（2）当 $1⩽t⩽6$时，经过点 $M(t-1,-\frac{1}{2}{t}^2+5t-\frac{3}{2})$与点 $N(-t-3,-\frac{1}{2}{t}^2+3t-\frac{7}{2})$的直线交 $y$轴于点 $F$，点 $P$是过 $M$， $N$两点的抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点．

①当点 $P$在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上时，求证：直线 $\mathit{MN}$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$没有公共点；

②当抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与矩形 $\mathit{OADB}$有且只有三个公共点，求 $t$的值；

③当点 $F$和点 $P$随着 $t$的变化同时向上运动时，求 $t$的取值范围，并求在运动过程中直线 $\mathit{MN}$在四边形 $\mathit{OAEB}$中扫过的面积．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　    　，点 $E$的坐标为　    　；抛物线 $C_1$的解析式为　    　．抛物线 $C_2$的解析式为　      　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

直线 $y=-\frac{3}{2}x+3$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $B$，顶点为 $D$的抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+2\mathit{mx}-3m$经过点 $A$，交 $x$轴于另一点 $C$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点 $A$， $C$， $D$的坐标；

（2）动点 $P$在 $\mathit{BD}$上以每秒2个单位长的速度由点 $B$向点 $D$运动，同时动点 $Q$在 $\mathit{CA}$上以每秒3个单位长的速度由点 $C$向点 $A$运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒． $\mathit{PQ}$交线段 $\mathit{AD}$于点 $E$．

①当 $\angle \mathit{DPE}=\angle \mathit{CAD}$时，求 $t$的值；

②过点 $E$作 $\mathit{EM}\perp \mathit{BD}$，垂足为点 $M$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BD}$交线段 $\mathit{AB}$或 $\mathit{AD}$于点 $N$，当 $\mathit{PN}=\mathit{EM}$时，求 $t$的值．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　       ，　     　，　      　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图1，抛物线 $C_1:y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a<0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$．已知点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $O$为坐标原点， $\mathit{OC}=3\mathit{OA}$，抛物线 $C_1$的顶点为 $G$．

（1）求出抛物线 $C_1$的解析式，并写出点 $G$的坐标；

（2）如图2，将抛物线 $C_1$向下平移 $k(k>0)$个单位，得到抛物线 $C_2$，设 $C_2$与 $x$轴的交点为 $A\text{'}$、 $B\text{'}$，顶点为 $G\text{'}$，当△ $A\text{'}B\text{'}G\text{'}$是等边三角形时，求 $k$的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点 $M$为 $x$轴正半轴上一动点，过点 $M$作 $x$轴的垂线分别交抛物线 $C_1$、 $C_2$于 $P$、 $Q$两点，试探究在直线 $y=-1$上是否存在点 $N$，使得以 $P$、 $Q$、 $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOQ}$全等，若存在，直接写出点 $M$， $N$的坐标：若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(0$、 $-4)$与 $x$轴交于另一点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{\mathit{\Delta PBO}}=S_{\mathit{\Delta PBC}}$，求证： $\mathit{AP}//\mathit{BC}$；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $x$轴于点 $E$，使 $\mathit{\Delta ABE}$与以 $A$， $B$， $C$， $E$中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$、 $Q$的坐标分别是 $P(x_1$， $y_1)$、

$Q(x_2$， $y_2)$，则 $P$、 $Q$这两点间的距离为 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$．如 $P(1,2)$， $Q(3,4)$，则 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-4)}^2}=2\sqrt{2}$．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交 $y$轴于点 $A$，点 $A$关于 $x$轴的对称点为点 $B$，过点 $B$作直线 $l$平行于 $x$轴．

（1）到点 $A$的距离等于线段 $\mathit{AB}$长度的点的轨迹是　                             　；

（2）若动点 $C(x,y)$满足到直线 $l$的距离等于线段 $\mathit{CA}$的长度，求动点 $C$轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$的轨迹与直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交于 $E$、 $F$两点，分别过 $E$、 $F$作直线 $l$的垂线，垂足分别是 $M$、 $N$，求证：

① $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta AMN}$外接圆的切线；

② $\frac{1}{\mathit{AE}}+\frac{1}{\mathit{AF}}$为定值．