初中数学计算题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，规定：抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$的伴随直线为 $y=a(x-h)+k$．例如：抛物线 $y=2{(x+1)}^2-3$的伴随直线为 $y=2(x+1)-3$，即 $y=2x-1$．

（1）在上面规定下，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$的顶点坐标为　 　，伴随直线为　　 ，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y=m{(x-1)}^2-4m$与其伴随直线相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴交于点 $C$， $D$．

①若 $\angle \mathit{CAB}=90°$，求 $m$的值；

②如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点， $\mathit{\Delta PBC}$的面积记为 $S$，当 $S$取得最大值 $\frac{27}{4}$时，求 $m$的值．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的两边在坐标轴上，点 $A$的坐标为 $(10,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过点 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的一个交点为 $D(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{CB}$上的动点，设 $\mathit{CP}=t(0<t<10)$．

（1）请直接写出 $B$、 $C$两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$，交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{PBE}=\angle \mathit{OCD}$？

（3）点 $Q$是 $x$轴上的动点，过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{BQ}$，交 $\mathit{CQ}$于点 $M$，作 $\mathit{PN}//\mathit{CQ}$，交 $\mathit{BQ}$于点 $N$，当四边形 $\mathit{PMQN}$为正方形时，请求出 $t$的值．

如图，已知抛物线交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于 $C$点， $A$点坐标为 $(-1,0)$， $\mathit{OC}=2$， $\mathit{OB}=3$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为坐标平面内一点，以 $B$、 $C$、 $D$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$使得△ $M_1\mathit{BC}$、△ $M_2\mathit{BC}$、△ $M_3\mathit{BC}$的面积均为定值 $S$，求出定值 $S$及 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$这三个点的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$、 $Q$的坐标分别是 $P(x_1$， $y_1)$、

$Q(x_2$， $y_2)$，则 $P$、 $Q$这两点间的距离为 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$．如 $P(1,2)$， $Q(3,4)$，则 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-4)}^2}=2\sqrt{2}$．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交 $y$轴于点 $A$，点 $A$关于 $x$轴的对称点为点 $B$，过点 $B$作直线 $l$平行于 $x$轴．

（1）到点 $A$的距离等于线段 $\mathit{AB}$长度的点的轨迹是　 　；

（2）若动点 $C(x,y)$满足到直线 $l$的距离等于线段 $\mathit{CA}$的长度，求动点 $C$轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$的轨迹与直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交于 $E$、 $F$两点，分别过 $E$、 $F$作直线 $l$的垂线，垂足分别是 $M$、 $N$，求证：

① $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta AMN}$外接圆的切线；

② $\frac{1}{\mathit{AE}}+\frac{1}{\mathit{AF}}$为定值．

已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(0$、 $-4)$与 $x$轴交于另一点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{\mathit{\Delta PBO}}=S_{\mathit{\Delta PBC}}$，求证： $\mathit{AP}//\mathit{BC}$；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $x$轴于点 $E$，使 $\mathit{\Delta ABE}$与以 $A$， $B$， $C$， $E$中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $C_1:y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a<0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$．已知点 $A$的坐标为 $(-1,0)$，点 $O$为坐标原点， $\mathit{OC}=3\mathit{OA}$，抛物线 $C_1$的顶点为 $G$．

（1）求出抛物线 $C_1$的解析式，并写出点 $G$的坐标；

（2）如图2，将抛物线 $C_1$向下平移 $k(k>0)$个单位，得到抛物线 $C_2$，设 $C_2$与 $x$轴的交点为 $A\text{'}$、 $B\text{'}$，顶点为 $G\text{'}$，当△ $A\text{'}B\text{'}G\text{'}$是等边三角形时，求 $k$的值：

（3）在（2）的条件下，如图3，设点 $M$为 $x$轴正半轴上一动点，过点 $M$作 $x$轴的垂线分别交抛物线 $C_1$、 $C_2$于 $P$、 $Q$两点，试探究在直线 $y=-1$上是否存在点 $N$，使得以 $P$、 $Q$、 $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOQ}$全等，若存在，直接写出点 $M$， $N$的坐标：若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　 ，　 　，　 　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于原点及点 $A$，且经过点 $B(4,8)$，对称轴为直线 $x=-2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线 $y=\mathit{kx}+4$与抛物线两交点的横坐标分别为 $x_1$， $x_2(x_1<x_2)$，当 $\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}=\frac{1}{2}$时，求 $k$的值；

（3）连接 $\mathit{OB}$，点 $P$为 $x$轴下方抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{OB}$的平行线交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$，当 $S_{\mathit{\Delta POQ}}:S_{\mathit{\Delta BOQ}}=1:2$时，求出点 $P$的坐标．

（坐标平面内两点 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$之间的距离 $\mathit{MN}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2})$

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OADB}$的顶点 $A$， $B$的坐标分别为 $A(-6,0)$， $B(0,4)$．过点 $C(-6,1)$的双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$与矩形 $\mathit{OADB}$的边 $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）填空： $\mathit{OA}=$　 　， $k=$　 　，点 $E$的坐标为　 　；

（2）当 $1⩽t⩽6$时，经过点 $M(t-1,-\frac{1}{2}{t}^2+5t-\frac{3}{2})$与点 $N(-t-3,-\frac{1}{2}{t}^2+3t-\frac{7}{2})$的直线交 $y$轴于点 $F$，点 $P$是过 $M$， $N$两点的抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点．

①当点 $P$在双曲线 $y=\frac{k}{x}$上时，求证：直线 $\mathit{MN}$与双曲线 $y=\frac{k}{x}$没有公共点；

②当抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与矩形 $\mathit{OADB}$有且只有三个公共点，求 $t$的值；

③当点 $F$和点 $P$随着 $t$的变化同时向上运动时，求 $t$的取值范围，并求在运动过程中直线 $\mathit{MN}$在四边形 $\mathit{OAEB}$中扫过的面积．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　 　，点 $E$的坐标为　 　；抛物线 $C_1$的解析式为　 　．抛物线 $C_2$的解析式为　 　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 和 $\mathit{BC}$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $\mathit{DEFP}$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $\mathit{CP}$ ， $\mathit{CD}$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta DCE}$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．