在平面直角坐标系 xOy 中,规定:抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 的伴随直线为 y = a ( x - h ) + k .例如:抛物线 y = 2 ( x + 1 ) 2 - 3 的伴随直线为 y = 2 ( x + 1 ) - 3 ,即 y = 2 x - 1 .
(1)在上面规定下,抛物线 y = ( x + 1 ) 2 - 4 的顶点坐标为 ,伴随直线为 ,抛物线 y = ( x + 1 ) 2 - 4 与其伴随直线的交点坐标为 和 ;
(2)如图,顶点在第一象限的抛物线 y = m ( x - 1 ) 2 - 4 m 与其伴随直线相交于点 A , B (点 A 在点 B 的左侧),与 x 轴交于点 C , D .
①若 ∠ CAB = 90 ° ,求 m 的值;
②如果点 P ( x , y ) 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点, ΔPBC 的面积记为 S ,当 S 取得最大值 27 4 时,求 m 的值.
先化简,再求值: ( 1 − 1 x + 2 ) ÷ x 2 + 2 x + 1 2 x + 4 ,其中 x = 2 − 1 .
先化简,再求值: ( 8 a + 3 + a − 3 ) ÷ a 2 + 2 a + 1 a + 3 ,其中 a 为不等式组 a − 1 < 2 2 a + 1 2 > 3 的整数解.
先化简,再求值: ( 1 − a + b a − b ) ÷ b a 2 − b 2 ,其中 a = 3 − 2 , b = 5 − 3 .
在综合与实践活动中,活动小组对学校400米的跑道进行规划设计,跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成.其中400米跑道最内圈为400米,两端半圆弧的半径为36米. ( π 取 3 . 14 ) .
(1)求400米跑道中一段直道的长度;
(2)在活动中发现跑道周长(单位:米)随跑道宽度(距最内圈的距离,单位:米)的变化而变化.请完成下表:
跑道宽度 / 米
0
1
2
3
4
5
…
跑道周长 / 米
400
若设 x 表示跑道宽度(单位:米), y 表示该跑道周长(单位:米),试写出 y 与 x 的函数关系式:
(3)将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿,那么它与最内圈(跑道周长400米)形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条?
将直角三角板 ABC 按如图1放置,直角顶点 C 与坐标原点重合,直角边 AC 、 BC 分别与 x 轴和 y 轴重合,其中 ∠ ABC = 30 ° .将此三角板沿 y 轴向下平移,当点 B 平移到原点 O 时运动停止.设平移的距离为 m ,平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 s , s 关于 m 的函数图象(如图2所示)与 m 轴相交于点 P ( 3 , 0 ) ,与 s 轴相交于点 Q .
(1)试确定三角板 ABC 的面积;
(2)求平移前 AB 边所在直线的解析式;
(3)求 s 关于 m 的函数关系式,并写出 Q 点的坐标.