初中数学计算题

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，动点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CB}$方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，沿 $x$轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点 $P$、点 $Q$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t=1s$时，求经过点 $O$， $P$， $A$三点的抛物线的解析式；

（2）当 $t=2s$时，求 $\tan \angle \mathit{QPA}$的值；

（3）当线段 $\mathit{PQ}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $M$，且 $\mathit{BM}=2\mathit{AM}$时，求 $t\left(s\right)$的值；

（4）连接 $\mathit{CQ}$，当点 $P$， $Q$在运动过程中，记 $\mathit{\Delta CQP}$与矩形 $\mathit{OABC}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道 $\mathit{AB}$上，机器人甲从端点 $A$出发，匀速往返于端点 $A$、 $B$之间，机器人乙同时从端点 $B$出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 $B$、 $A$之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

（观察）

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为　    　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为　   　个单位长度；

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $x$个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $y$个单位长度．兴趣小组成员发现了 $y$与 $x$的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 $\mathit{OP}$，不包括点 $O$，如图2所示）．

① $a=$　    　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $x$个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $y$个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离 $y$不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离 $x$的取值范围是　 　．（直接写出结果）

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．

如图，平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A$、 $B$分别在 $y$轴、 $x$轴的正半轴上． $\mathit{\Delta AOB}$的两条外角平分线交于点 $P$， $P$在反比例函数 $y=\frac{9}{x}$的图象上． $\mathit{PA}$的延长线交 $x$轴于点 $C$， $\mathit{PB}$的延长线交 $y$轴于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求 $\angle P$的度数及点 $P$的坐标；

（2）求 $\mathit{\Delta OCD}$的面积；

（3） $\mathit{\Delta AOB}$的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=3$，动点 $P$从 $B$出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\mathit{BC}$方向移动，作 $\mathit{\Delta PAB}$关于直线 $\mathit{PA}$的对称 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$．

①如图2，当点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上时，显然 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$是直角三角形，求此时 $t$的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $\mathit{\Delta PCB}\text{'}$是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$点不与 $C$点重合时，若直线 $\mathit{PB}\text{'}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，且当 $t<3$时存在某一时刻有结论 $\angle \mathit{PAM}=45°$成立，试探究：对于 $t>3$的任意时刻，结论“ $\angle \mathit{PAM}=45°$”是否总是成立？请说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，正方形 $\mathit{BDEF}$的边长为2，将正方形 $\mathit{BDEF}$绕点 $B$旋转一周，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．

（1）请找出图中与 $\mathit{\Delta ABE}$相似的三角形，并说明理由；

（2）求当 $A$、 $E$、 $F$三点在一直线上时 $\mathit{CD}$的长；

（3）设 $\mathit{AE}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{FM}$，试求 $\mathit{FM}$长的取值范围．

已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+n(n<0)$和反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$．

（1）如图1，若 $n=-2$，且函数 $y_1$、 $y_2$的图象都经过点 $A(3,4)$．

①求 $m$， $k$的值；

②直接写出当 $y_1>y_2$时 $x$的范围；

（2）如图2，过点 $P(1,0)$作 $y$轴的平行线 $l$与函数 $y_2$的图象相交于点 $B$，与反比例函数 $y_3=\frac{n}{x}(x>0)$的图象相交于点 $C$．

①若 $k=2$，直线 $l$与函数 $y_1$的图象相交点 $D$．当点 $B$、 $C$、 $D$中的一点到另外两点的距离相等时，求 $m-n$的值；

②过点 $B$作 $x$轴的平行线与函数 $y_1$的图象相交于点 $E$．当 $m-n$的值取不大于1的任意实数时，点 $B$、 $C$间的距离与点 $B$、 $E$间的距离之和 $d$始终是一个定值．求此时 $k$的值及定值 $d$．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$坐标为 $(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$．求点 $P$的坐标；

（3）如图②，点 $Q$为 $x$轴下方抛物线上任意一点，点 $D$是抛物线对称轴与 $x$轴的交点，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{BQ}$分别交抛物线的对称轴于点 $M$、 $N$．请问 $\mathit{DM}+\mathit{DN}$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图①，抛物线 $y=-x^2+(a+1)x-a$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$位于点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积是6．

（1）求 $a$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆圆心的坐标；

（3）如图②， $P$是抛物线上一点， $Q$为射线 $\mathit{CA}$上一点，且 $P$、 $Q$两点均在第三象限内， $Q$、 $A$是位于直线 $\mathit{BP}$同侧的不同两点，若点 $P$到 $x$轴的距离为 $d$， $\mathit{\Delta QPB}$的面积为 $2d$，且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{AQB}$，求点 $Q$的坐标．

定义：若实数 $x$， $y$满足 $x^2=2y+t$， $y^2=2x+t$，且 $x\ne y$， $t$为常数，则称点 $M(x,y)$为“线点”．例如，点 $(0,-2)$和 $(-2,0)$是“线点”．已知：在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $P(m,n)$．

（1） $P_1(3,1)$和 $P_2(-3,1)$两点中，点　   　是“线点”；

（2）若点 $P$是“线点”，用含 $t$的代数式表示 $\mathit{mn}$，并求 $t$的取值范围；

（3）若点 $Q(n,m)$是“线点”，直线 $\mathit{PQ}$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$， $B$，当 $|\angle \mathit{POQ}-\angle \mathit{AOB}|=30°$时，直接写出 $t$的值．

问题情境：如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为边 $\mathit{BC}$上一点（不与点 $B$、 $C$重合），垂直于 $\mathit{AE}$的一条直线 $\mathit{MN}$分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CD}$于点 $M$、 $P$、 $N$．判断线段 $\mathit{DN}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{EC}$之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$恰好为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$，交 $\mathit{MN}$于点 $Q$，连接 $\mathit{EQ}$，并延长交边 $\mathit{AD}$于点 $F$．求 $\angle \mathit{AEF}$的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$上时，连接 $\mathit{AN}$，将 $\mathit{\Delta APN}$沿着 $\mathit{AN}$翻折，点 $P$落在点 $P^{\text{'}}$处，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $\mathit{AD}$的中点为 $S$，求 $P^{\text{'}}S$的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$、 $N$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上的点，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿着 $\mathit{MN}$翻折，使得 $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$恰好经过点 $A$， $C^{\text{'}}N$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．分别过点 $A$、 $F$作 $\mathit{AG}\perp \mathit{MN}$， $\mathit{FH}\perp \mathit{MN}$，垂足分别为 $G$、 $H$．若 $\mathit{AG}=\frac{5}{2}$，请直接写出 $\mathit{FH}$的长．

（概念认识）

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$，对两点 $A(x_1$， $y_1)$和 $B(x_2$， $y_2)$，用以下方式定义两点间距离： $d(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$．

（数学理解）

（1）①已知点 $A(-2,1)$，则 $d(O,A)=$　         　．

②函数 $y=-2x+4(0⩽x⩽2)$的图象如图①所示， $B$是图象上一点， $d(O,B)=3$，则点 $B$的坐标是　      　．

（2）函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点 $C$，使 $d(O,C)=3$．

（3）函数 $y=x^2-5x+7(x⩾0)$的图象如图③所示， $D$是图象上一点，求 $d(O,D)$的最小值及对应的点 $D$的坐标．

（问题解决）

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以 $M$为起点，先沿 $\mathit{MN}$方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=3$， $\angle \mathit{BAC}=100°$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段 $\mathit{AD}$上任取一点 $P$，连接 $\mathit{PB}$．将线段 $\mathit{PB}$绕点 $P$按逆时针方向旋转 $80°$，点 $B$的对应点是点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，得到 $\mathit{\Delta BPE}$．小明发现，随着点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上位置的变化，点 $E$的位置也在变化，点 $E$可能在直线 $\mathit{AD}$的左侧，也可能在直线 $\mathit{AD}$上，还可能在直线 $\mathit{AD}$的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点 $E$在直线 $\mathit{AD}$上时，如图②所示．

① $\angle \mathit{BEP}=$　    　 $°$；

②连接 $\mathit{CE}$，直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系是　    　．

（2）请在图③中画出 $\mathit{\Delta BPE}$，使点 $E$在直线 $\mathit{AD}$的右侧，连接 $\mathit{CE}$．试判断直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由．

（3）当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上运动时，求 $\mathit{AE}$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移 $\frac{15}{4}$个单位长度，再向左平移 $h(h>0)$个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点 $D\text{'}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，求 $h$的取值范围；

（3）点 $P$为线段 $\mathit{BC}$上一动点（点 $P$不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线交（1）中的抛物线于点 $Q$，当 $\mathit{\Delta PQC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似时，求 $\mathit{\Delta PQC}$的面积．