抛物线y23x273x1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度较难
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抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{7}{3} x - 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其顶点为 $D$ ．将抛物线位于直线 $l : y = t (t < \frac{25}{24})$ 上方的部分沿直线 $l$ 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$ ”形的新图象．

（1）点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的坐标分别为　，　　，　　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$ 落在点 $E$ 处．当点 $E$ 在 $ΔABC$ 内（含边界）时，求 $t$ 的取值范围；

（3）如图②，当 $t = 0$ 时，若 $Q$ 是“ $M$ ”形新图象上一动点，是否存在以 $CQ$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切于点 $P$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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定义：

数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．

理解：

（1）如图1，已知 $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 上两点，请在圆上找出满足条件的点 $C$ ，使 $ΔABC$ 为“智慧三角形”（画出点 $C$ 的位置，保留作图痕迹）；

（2）如图2，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $BC$ 的中点， $F$ 是 $CD$ 上一点，且 $CF = \frac{1}{4} CD$ ，试判断 $ΔAEF$ 是否为“智慧三角形”，并说明理由；

运用：

（3）如图3，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，点 $Q$ 是直线 $y = 3$ 上的一点，若在 $⊙ O$ 上存在一点 $P$ ，使得 $ΔOPQ$ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 $P$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元 $/$ 件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元 $/$ 件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线 $ODE$ 表示日销售量 $y$ （件）与销售时间 $x$ （天）之间的函数关系，已知线段 $DE$ 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．

（1）第24天的日销售量是　　件，日销售利润是　　元．

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？