如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0)

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度较难
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如图，矩形 $OABC$ 的两边在坐标轴上，点 $A$ 的坐标为 $(10, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 过点 $B$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的一个交点为 $D (- 2, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $CB$ 上的动点，设 $CP = t (0 < t < 10)$ ．

（1）请直接写出 $B$ 、 $C$ 两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ ，交抛物线于点 $E$ ，连接 $BE$ ，当 $t$ 为何值时， $∠ PBE = ∠ OCD$ ？

（3）点 $Q$ 是 $x$ 轴上的动点，过点 $P$ 作 $PM / / BQ$ ，交 $CQ$ 于点 $M$ ，作 $PN / / CQ$ ，交 $BQ$ 于点 $N$ ，当四边形 $PMQN$ 为正方形时，请求出 $t$ 的值．

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如图，在直角坐标系 $xOy$ 中，菱形 $OABC$ 的边 $OA$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $B$ ， $C$ 在第一象限， $∠ C = 120 °$ ，边长 $OA = 8$ ．点 $M$ 从原点 $O$ 出发沿 $x$ 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点 $N$ 从 $A$ 出发沿边 $AB - BC - CO$ 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点 $M$ 作直线 $MP$ 垂直于 $x$ 轴并交折线 $OCB$ 于 $P$ ，交对角线 $OB$ 于 $Q$ ，点 $M$ 和点 $N$ 同时出发，分别沿各自路线运动，点 $N$ 运动到原点 $O$ 时， $M$ 和 $N$ 两点同时停止运动．

（1）当 $t = 2$ 时，求线段 $PQ$ 的长；

（2）求 $t$ 为何值时，点 $P$ 与 $N$ 重合；

（3）设 $ΔAPN$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式及 $t$ 的取值范围．

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我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量 $y$ （万件）与月份 $x$ （月）的关系为： $y = \{\begin{matrix} x + 4 (1 ⩽ x ⩽ 8, x 为整数) \\ - x + 20 (9 ⩽ x ⩽ 12, x 为整数) \end{matrix}$ ，每件产品的利润 $z$ （元）与月份 $x$ （月）的关系如下表：

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$z$	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	10	10

（1）请你根据表格求出每件产品利润 $z$ （元）与月份 $x$ （月）的关系式；

（2）若月利润 $w$ （万元） $=$ 当月销售量 $y$ （万件） $\times$ 当月每件产品的利润 $z$ （元），求月利润 $w$ （万元）与月份 $x$ （月）的关系式；

（3）当 $x$ 为何值时，月利润 $w$ 有最大值，最大值为多少？

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已知直线 $l : y = kx + 1$ 与抛物线 $y = x^{2} - 4 x$ ．

（1）求证：直线 $l$ 与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线 $l$ 与该抛物线两交点为 $A$ ， $B$ ， $O$ 为原点，当 $k = - 2$ 时，求 $ΔOAB$ 的面积．

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如图，在大楼 $AB$ 正前方有一斜坡 $CD$ ，坡角 $∠ DCE = 30 °$ ，楼高 $AB = 60$ 米，在斜坡下的点 $C$ 处测得楼顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，在斜坡上的 $D$ 处测得楼顶 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，其中点 $A$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上．

（1）求坡底 $C$ 点到大楼距离 $AC$ 的值；

（2）求斜坡 $CD$ 的长度．

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如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 过点 $A (3, 4)$ ，直线 $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $C (6, 0)$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线 $BC$ 交反比例函数图象于点 $B$ ．

（1）求 $k$ 的值与 $B$ 点的坐标；

（2）在平面内有点 $D$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有 $D$ 点的坐标．

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