已知抛物线ya(x1)2过点(3,1)，D为抛物线的顶点．（

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度较难
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挑错有奖

已知抛物线 $y = a {(x - 1)}^{2}$ 过点 $(3, 1)$ ， $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $B$ 、 $C$ 均在抛物线上，其中点 $B (0, \frac{1}{4})$ ，且 $∠ BDC = 90 °$ ，求点 $C$ 的坐标；

（3）如图，直线 $y = kx + 4 - k$ 与抛物线交于 $P$ 、 $Q$ 两点．

①求证： $∠ PDQ = 90 °$ ；

②求 $ΔPDQ$ 面积的最小值．

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如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于关于原点对称的 $A$ ， $B$ 两点，已知 $A$ 点的纵坐标是3．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 $C$ ，如果 $ΔABC$ 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．

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组别	分组	频数（人数）	频率
1	$10 ⩽ t < 30$		0.16
2	$30 ⩽ t < 50$	20
3	$50 ⩽ t < 70$		0.28
4	$70 ⩽ t < 90$	6
5	$90 ⩽ t < 110$

（1）将表中空格处的数据补全，完成上面的频数、频率分布表；

（2）请在给出的平面直角坐标系中画出相应的频数直方图；

（3）如果该校有1500名学生，请你估计该校共有多少名学生平均每天阅读时间不少于 $50 \min$ ？

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（1）若 $ΔABC$ 经过平移后得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，已知点 $C_{1}$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，写出顶点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标；

（2）若 $ΔABC$ 和△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于原点 $O$ 成中心对称图形，写出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ 的各顶点的坐标；

（3）将 $ΔABC$ 绕着点 $O$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到△ $A_{3} B_{3} C_{3}$ ，写出△ $A_{3} B_{3} C_{3}$ 的各顶点的坐标．

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