初中数学计算题

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　 　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，规定：抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$的伴随直线为 $y=a(x-h)+k$．例如：抛物线 $y=2{(x+1)}^2-3$的伴随直线为 $y=2(x+1)-3$，即 $y=2x-1$．

（1）在上面规定下，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$的顶点坐标为　 　，伴随直线为　　 ，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y=m{(x-1)}^2-4m$与其伴随直线相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴交于点 $C$， $D$．

①若 $\angle \mathit{CAB}=90°$，求 $m$的值；

②如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点， $\mathit{\Delta PBC}$的面积记为 $S$，当 $S$取得最大值 $\frac{27}{4}$时，求 $m$的值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　 　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，菱形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴正半轴上，点 $B$， $C$在第一象限， $\angle C=120°$，边长 $\mathit{OA}=8$．点 $M$从原点 $O$出发沿 $x$轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点 $N$从 $A$出发沿边 $\mathit{AB}-\mathit{BC}-\mathit{CO}$以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点 $M$作直线 $\mathit{MP}$垂直于 $x$轴并交折线 $\mathit{OCB}$于 $P$，交对角线 $\mathit{OB}$于 $Q$，点 $M$和点 $N$同时出发，分别沿各自路线运动，点 $N$运动到原点 $O$时， $M$和 $N$两点同时停止运动．

（1）当 $t=2$时，求线段 $\mathit{PQ}$的长；

（2）求 $t$为何值时，点 $P$与 $N$重合；

（3）设 $\mathit{\Delta APN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式及 $t$的取值范围．

如图，已知抛物线交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于 $C$点， $A$点坐标为 $(-1,0)$， $\mathit{OC}=2$， $\mathit{OB}=3$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为坐标平面内一点，以 $B$、 $C$、 $D$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$使得△ $M_1\mathit{BC}$、△ $M_2\mathit{BC}$、△ $M_3\mathit{BC}$的面积均为定值 $S$，求出定值 $S$及 $M_1$、 $M_2$、 $M_3$这三个点的坐标．

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$、 $Q$的坐标分别是 $P(x_1$， $y_1)$、

$Q(x_2$， $y_2)$，则 $P$、 $Q$这两点间的距离为 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$．如 $P(1,2)$， $Q(3,4)$，则 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-4)}^2}=2\sqrt{2}$．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交 $y$轴于点 $A$，点 $A$关于 $x$轴的对称点为点 $B$，过点 $B$作直线 $l$平行于 $x$轴．

（1）到点 $A$的距离等于线段 $\mathit{AB}$长度的点的轨迹是　 　；

（2）若动点 $C(x,y)$满足到直线 $l$的距离等于线段 $\mathit{CA}$的长度，求动点 $C$轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$的轨迹与直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交于 $E$、 $F$两点，分别过 $E$、 $F$作直线 $l$的垂线，垂足分别是 $M$、 $N$，求证：

① $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta AMN}$外接圆的切线；

② $\frac{1}{\mathit{AE}}+\frac{1}{\mathit{AF}}$为定值．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(1,0)$， $B(m,0)$，与 $y$轴交于 $C$．

（1）若 $m=-3$，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交 $x$轴于 $D$，在对称轴左侧的抛物线上有一点 $E$，使 $S_{\mathit{\Delta ACE}}=\frac{10}{3}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设 $F(-1,-4)$， $\mathit{FG}\perp y$轴于 $G$，在线段 $\mathit{OG}$上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{OBP}=\angle \mathit{FPG}$？若存在，求 $m$的取值范围；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　 ，　 　，　 　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　 　，点 $E$的坐标为　 　；抛物线 $C_1$的解析式为　 　．抛物线 $C_2$的解析式为　 　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，2）

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

计算下列各题：（每小题5分，共10分）
（1）
（2）+

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 经过点 $A(1,0)$ 和点 $B(5,0)$ ．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线 $y=\frac{3}{5}x+3$ 相交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $P$ 是抛物线上的动点且位于 $x$ 轴下方，直线 $\mathit{PM}//y$ 轴，分别与 $x$ 轴和直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

①连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{PD}$ ，如图1，在点 $P$ 运动过程中， $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}\perp \mathit{PM}$ ，垂足为点 $Q$ ，如图2，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta CNQ}$ 与 $\mathit{\Delta PBM}$ 相似？若存在，求出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．