初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$为 $\mathit{AC}$上一点，且 $\mathit{CD}=\mathit{CB}$，以 $\mathit{BC}$为直径作 $\odot O$，交 $\mathit{BD}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，过 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$， $\angle \mathit{BCD}=2\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=60°$， $\mathit{DF}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O$， $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{AC}$为直径，过点 $A$作圆 $O$的切线交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$，过 $\mathit{AC}$的三等分点 $F$（靠近点 $C)$作 $\mathit{CE}$的平行线交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{CD}$；

（2）求证： $C{D}^2=\mathit{BE}\cdot \mathit{BC}$；

（3）当 $\mathit{CG}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=\frac{9}{2}$时，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点O，交BC于点E， $\mathit{EG}＝\mathit{EC}$， $\mathit{GF}\parallel \mathit{AD}$交DE于点F，连接 $\mathit{FC}$，点H为线段 $\mathit{AO}$上一点，连接 $\mathit{HD}，\mathit{HF}$．

（1）判断四边形 $\mathit{GECF}$的形状，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DHF}＝\angle \mathit{HAD}$时，求证： $\mathit{AH}•\mathit{CH}＝\mathit{EC}•\mathit{AD}$．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot M$的直径， $\mathit{BC}$是 $\odot M$的切线，切点为 $B$， $C$是 $\mathit{BC}$上（除 $B$点外）的任意一点，连接 $\mathit{CM}$交 $\odot M$于点 $G$，过点 $C$作 $C\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BG}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta BCD}$；

（2）若 $\mathit{MB}=\mathit{BE}=1$，求 $\mathit{CD}$的长度．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点（点 $E$与点 $A$， $B$不重合），连接 $\mathit{CE}$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CE}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）如图2，当点 $E$运动到 $\mathit{AB}$中点时，连接 $\mathit{DG}$，求证： $\mathit{DC}=\mathit{DG}$；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $C$作 $\mathit{CM}\perp \mathit{DG}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BF}$于点 $M$， $N$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{NH}}$的值．

如图， $P$是 $\odot O$外的一点， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的两条切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{PO}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，延长 $\mathit{BO}$交 $\odot O$于点 $C$，交 $\mathit{PA}$的延长交于点 $Q$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}//\mathit{PO}$；

（2）设 $D$为 $\mathit{PB}$的中点， $\mathit{QD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\odot O$的半径为3， $\mathit{CQ}=2$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}$的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是 $\odot O$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$，连接 $\mathit{FB}$， $\mathit{FD}$， $\mathit{FD}$交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）若 $\mathit{AE}=1$， $\mathit{CD}=6$，求 $\odot O$的半径；

（2）求证： $\mathit{\Delta BNF}$为等腰三角形；

（3）连接 $\mathit{FC}$并延长，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $P$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $M$．求证： $\mathit{ON}·\mathit{OP}=\mathit{OE}·\mathit{OM}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$边于点 $E$，交 $\odot O$于点 $D$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，设 $\odot O$的半径为 $R$， $\mathit{AF}=h$．

（1）过点 $D$作直线 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$，求证： $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{AB}·\mathit{AC}=2R·h$；

（3）设 $\angle \mathit{BAC}=2\alpha$，求 $\frac{\mathit{AB}+\mathit{AC}}{\mathit{AD}}$的值（用含 $\alpha$的代数式表示）．

如图1， $D$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$上的一点，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\odot O$于 $E$、 $N$， $F$是 $\odot O$上的一点，过 $F$的直线分别与 $\mathit{CB}$、 $\mathit{DE}$的延长线相交于 $A$、 $P$，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{PD}$于 $M$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle P$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=30°$， $\odot O$的半径为4， $\mathit{DM}=1$，求 $\mathit{PM}$的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{BM}$；在线段 $\mathit{DN}$上有一点 $H$，并且以 $H$、 $D$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BFM}$相似，求 $\mathit{DH}$的长度．

如图， $\mathit{BM}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$的切线， $B$为切点， $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABM}$，弦 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{DE}=\mathit{OE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACB}$是等腰直角三角形；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{OE}·\mathit{DC}$；

（3）求 $\tan \angle \mathit{ACD}$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，以 $\mathit{BC}$边为直径作半圆 $O$， $\mathit{OE}\perp \mathit{OA}$交 $\mathit{CD}$边于点 $E$，对角线 $\mathit{AC}$与半圆 $O$的另一个交点为 $P$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是半圆 $O$的切线；

（2）若 $\mathit{PA}=2$， $\mathit{PC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，已知 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$是 $\odot O$的两条割线， $\mathit{AC}$与 $\odot O$交于 $B$、 $C$两点， $\mathit{AD}$过圆心 $O$且与 $\odot O$交于 $E$、 $D$两点， $\mathit{OB}$平分 $\angle \mathit{AOC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta ABO}$；

（2）过点 $E$的切线交 $\mathit{AC}$于 $F$，若 $\mathit{EF}//\mathit{OC}$， $\mathit{OC}=3$，求 $\mathit{EF}$的值． $[$提示： $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1]$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ， $\mathit{PB}$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{PBA}=\angle \mathit{OBC}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{PBA}=20°$ ， $\angle \mathit{ACD}=40°$ ，求证： $\mathit{\Delta OAB}\backsim \mathit{\Delta CDE}$ ．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是中线， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，一个以点 $D$为顶点的 $45°$角绕点 $D$旋转，使角的两边分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$的延长线相交，交点分别为点 $E$、 $F$， $\mathit{DF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $M$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $N$．

（1）如图1，若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，在 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转的过程中，试证明 $C{D}^2=\mathit{CE}·\mathit{CF}$恒成立；

（3）若 $\mathit{CD}=2$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{DN}$的长．