【推理】
如图1,在正方形 中,点 是 上一动点,将正方形沿着 折叠,点 落在点 处,连结 , ,延长 交 于点 .
(1)求证: .
【运用】
(2)如图2,在【推理】条件下,延长 交 于点 .若 , ,求线段 的长.
【拓展】
(3)将正方形改成矩形,同样沿着 折叠,连结 ,延长 , 交直线 于 , 两点,若 , ,求 的值(用含 的代数式表示).
如图1,点 是半圆 的直径 上一动点(不包括端点), ,过点 作 交半圆于点 ,连结 ,过点 作 交半圆于点 ,连结 .牛牛想探究在点 运动过程中 与 的大小关系.他根据学习函数的经验,记 , , .请你一起参与探究函数 、 随自变量 变化的规律.
通过几何画板取点、画图、测量,得出如下几组对应值,并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点,画出了不完整图象.
|
|
0.30 |
0.80 |
1.60 |
2.40 |
3.20 |
4.00 |
4.80 |
5.60 |
|
|
|
2.01 |
2.98 |
3.46 |
3.33 |
2.83 |
2.11 |
1.27 |
0.38 |
|
|
|
5.60 |
4.95 |
3.95 |
2.96 |
2.06 |
1.24 |
0.57 |
0.10 |
|
(1)当 时, .
(2)在图2中画出函数 的图象,并结合图象判断函数值 与 的大小关系.
(3)由(2)知" 取某值时,有 ".如图3,牛牛连结了 ,尝试通过计算 , 的长来验证这一结论,请你完成计算过程.
如图,在 中, , 与 相切于点 ,过点 作 的垂线交 的延长线于点 ,交 于点 ,连结 .
(1)求证: 是 的切线.
(2)若 , ,求 的长.
如图1,四边形 内接于 , 为直径, 上存在点 ,满足 ,连结 并延长交 的延长线于点 , 与 交于点 .
(1)若 ,请用含 的代数式表示 .
(2)如图2,连结 , .求证: .
(3)如图3,在(2)的条件下,连结 , .
①若 ,求 的周长.
②求 的最小值.
【证明体验】
(1)如图1, 为 的角平分线, ,点 在 上, .求证: 平分 .
【思考探究】
(2)如图2,在(1)的条件下, 为 上一点,连结 交 于点 .若 , , ,求 的长.
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形 中,对角线 平分 , ,点 在 上, .若 , , ,求 的长.
如图,在菱形 中, 是锐角, 是 边上的动点,将射线 绕点 按逆时针方向旋转,交直线 于点 .
(1)当 , 时,
①求证: ;
②连结 , ,若 ,求 的值;
(2)当 时,延长 交射线 于点 ,延长 交射线 于点 ,连结 , ,若 , ,则当 为何值时, 是等腰三角形.
在平面直角坐标系中,点 的坐标为 , ,点 在直线 上,过点 作 的垂线,过原点 作直线 的垂线,两垂线相交于点 .
(1)如图,点 , 分别在第三、二象限内, 与 相交于点 .
①若 ,求证: .
②若 ,求四边形 的面积.
(2)是否存在点 ,使得以 , , 为顶点的三角形与 相似?若存在,求 的长;若不存在,请说明理由.
小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进一步开展探究活动:将一个矩形 绕点 顺时针旋转 ,得到矩形 ,连结 .
探究 如图1,当 时,点 恰好在 延长线上.若 ,求 的长.
探究 如图2,连结 ,过点 作 交 于点 .线段 与 相等吗?请说明理由.
探究 在探究2的条件下,射线 分别交 , 于点 , (如图 ,发现线段 , , 存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明.
如图,锐角三角形 内接于 , 的平分线 交 于点 ,交 边于点 ,连接 .
(1)求证: .
(2)已知 , ,求线段 的长(用含 , 的代数式表示).
(3)已知点 在线段 上(不与点 ,点 重合),点 在线段 上(不与点 ,点 重合), ,求证: .
如图, 是 的直径,点 是 上异于 、 的点,连接 、 ,点 在 的延长线上,且 ,点 在 的延长线上,且 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , ,求 的长.
如图,点 在以 为直径的 上,过 作 的切线交 延长线于点 , 于点 ,交 于点 ,连接 , .
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)若 , ,求 的长.
如图1,在四边形 中, ,点 在边 上,且 , ,作 交线段 于点 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)如图2.若 , , ,求 的长;
(3)如图3,若 的延长线经过 的中点 ,求 的值.
如图,在 中, ,以 为直径的 交 于点 , 交 的延长线于点 ,交 于点 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , ,求 的长.
如图1, 为 上一点,点 在直径 的延长线上,且 .
(1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由;
(2)若 , ,求 的半径;
(3)如图2,在(2)的条件下, 的平分线 交 于点 ,交 于点 ,连结 .求 的值.