初中数学相似三角形的判定与性质解答题

【推理】

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上一动点，将正方形沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta CDG}$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $H$ ．若 $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求线段 $\mathit{DE}$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $\mathit{BE}$ 折叠，连结 $\mathit{CF}$ ，延长 $\mathit{CF}$ ， $\mathit{BF}$ 交直线 $\mathit{AD}$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=k$ ， $\frac{\mathit{HD}}{\mathit{HF}}=\frac{4}{5}$ ，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 上一动点（不包括端点）， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $\mathit{AD}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}//\mathit{AD}$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $\mathit{EB}$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $\mathit{EC}$ 与 $\mathit{EB}$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $\mathit{AC}=\mathit{xcm}$ ， $\mathit{EC}=y_1\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=y_2\mathit{cm}$ ．请你一起参与探究函数 $y_1$ 、 $y_2$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_1$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_2$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x=3$ 时， $y_1=$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_2$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $\mathit{AC}$ 取某值时，有 $\mathit{EC}=\mathit{EB}$ "．如图3，牛牛连结了 $\mathit{OE}$ ，尝试通过计算 $\mathit{EC}$ ， $\mathit{EB}$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{BD}$ 为直径， $\stackrel{̂}{\text{AD}}$ 上存在点 $E$ ，满足 $\widehat{A\text{E}}=\widehat{\text{CD}}$ ，连结 $\mathit{BE}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 的延长线于点 $F$ ， $\mathit{BE}$ 与 $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ．

（1）若 $\angle \mathit{DBC}=\alpha$ ，请用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle \mathit{AGB}$ ．

（2）如图2，连结 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CE}=\mathit{BG}$ ．求证： $\mathit{EF}=\mathit{DG}$ ．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{CG}$ ， $\mathit{AD}=2$ ．

①若 $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\mathit{\Delta FGD}$ 的周长．

②求 $\mathit{CG}$ 的最小值．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 是锐角， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的动点，将射线 $\mathit{AE}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{ABC}$ 时，

①求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ；

②连结 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{EF}$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BD}}=\frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta AEF}}}{S_{\mathit{菱形}\mathit{ABCD}}}$ 的值；

（2）当 $\angle \mathit{EAF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ 时，延长 $\mathit{BC}$ 交射线 $\mathit{AF}$ 于点 $M$ ，延长 $\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{AE}$ 于点 $N$ ，连结 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{MN}$ ，若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2$ ，则当 $\mathit{CE}$ 为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$ 是等腰三角形．

在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(-\sqrt{73}$ ， $0)$ ，点 $B$ 在直线 $l:y=\frac{3}{8}x$ 上，过点 $B$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线，过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，两垂线相交于点 $C$ ．

（1）如图，点 $B$ ， $C$ 分别在第三、二象限内， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{AO}$ 相交于点 $D$ ．

①若 $\mathit{BA}=\mathit{BO}$ ，求证： $\mathit{CD}=\mathit{CO}$ ．

②若 $\angle \mathit{CBO}=45°$ ，求四边形 $\mathit{ABOC}$ 的面积．

（2）是否存在点 $B$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCO}$ 相似？若存在，求 $\mathit{OB}$ 的长；若不存在，请说明理由．

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 $\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha ⩽90°)$ ，得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连结 $\mathit{BD}$ ．

$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $\alpha =90°$ 时，点 $C\text{'}$ 恰好在 $\mathit{DB}$ 延长线上．若 $\mathit{AB}=1$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $\mathit{AC}\text{'}$ ，过点 $D\text{'}$ 作 $D\text{'}M//\mathit{AC}\text{'}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $M$ ．线段 $D\text{'}M$ 与 $\mathit{DM}$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $\mathit{DB}$ 分别交 $\mathit{AD}\text{'}$ ， $\mathit{AC}\text{'}$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $\mathit{DN}$ ， $\mathit{MN}$ ， $\mathit{PN}$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

如图，锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线 $\mathit{AG}$ 交 $\odot O$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{BC}$ 边于点 $F$ ，连接 $\mathit{BG}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\backsim \mathit{\Delta AFC}$ ．

（2）已知 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{AC}=\mathit{AF}=b$ ，求线段 $\mathit{FG}$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．

（3）已知点 $E$ 在线段 $\mathit{AF}$ 上（不与点 $A$ ，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $\mathit{AE}$ 上（不与点 $A$ ，点 $E$ 重合）， $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{CBE}$ ，求证： $B{G}^2=\mathit{GE}\cdot \mathit{GD}$ ．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 是 $\odot O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{DCA}=\angle \mathit{ABC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{DC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\frac{\mathit{OA}}{\mathit{OD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{BE}=3$ ，求 $\mathit{DA}$ 的长．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{BCD}$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AE}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$ ，作 $\mathit{CF}//\mathit{AD}$ 交线段 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta EAD}$ ；

（2）如图2．若 $\mathit{AB}=9$ ， $\mathit{CD}=5$ ， $\angle \mathit{ECF}=\angle \mathit{AED}$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BF}$ 的延长线经过 $\mathit{AD}$ 的中点 $M$ ，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\tan E=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图1， $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle \mathit{CBD}$．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ADC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{AC}=2$，求 $\odot O$的半径；

（3）如图2，在（2）的条件下， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DE}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连结 $\mathit{BE}$．求 $\sin \angle \mathit{DBE}$的值．

如图，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上，点 $F$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（不与点 $A$重合）， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{DE}=\frac{1}{3}$．

（1）求 $\tan \angle \mathit{ACE}$；

（2）设 $\mathit{AF}=x$， $\mathit{GH}=y$，试探究 $y$与 $x$的函数关系式（写出 $x$的取值范围）；

（3）当 $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{ACE}$时，判断 $\mathit{EG}$与 $\mathit{AC}$的位置关系并说明理由．