初中数学相似三角形的判定与性质作图题

求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．

要求：①根据给出的 $\mathit{\Delta ABC}$ 及线段 $A^{\text{'}}B\text{'}$ ， $\angle A\text{'}(\angle A\text{'}=\angle A)$ ，以线段 $A\text{'}B\text{'}$ 为一边，在给出的图形上用尺规作出△ $A^{\text{'}}B\text{'}C\text{'}$ ，使得△ $A^{\text{'}}B\text{'}C\text{'}\backsim \mathit{\Delta ABC}$ ，不写作法，保留作图痕迹；

②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．

如图1， $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上， $\angle \mathit{CBD}=\angle A$，过 $A$、 $D$两点的圆的圆心 $O$在 $\mathit{AB}$上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $\odot O$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $\mathit{BD}$所在直线与（1）中所作的 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$， $F$为垂足，若点 $D$是线段 $\mathit{AC}$的黄金分割点（即 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{AD}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}})$，如图2，试说明四边形 $\mathit{DEFC}$是正方形）．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是一块直角三角板，且 $\angle C=90°$， $\angle A=30°$，现将圆心为点 $O$的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$都相切时，试用直尺与圆规作出射线 $\mathit{CO}$；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若 $\mathit{BC}=9$，圆形纸片的半径为2，求圆心 $O$运动的路径长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{\angle }\mathit{ACB}\mathit{>}\mathit{\angle }\mathit{ABC}$．

（1）用直尺和圆规在 $\mathit{\angle }\mathit{ACB}$的内部作射线 $\mathit{CM}$，使 $\mathit{\angle }\mathit{ACM}\mathit{=}\mathit{\angle }\mathit{ABC}$（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）若（1）中的射线 $\mathit{CM}$交 $\mathit{AB}$于点 $\mathit{D}$， $\mathit{AB}\mathit{=}\mathit{9}$， $\mathit{AC}\mathit{=}\mathit{6}$，求 $\mathit{AD}$的长．