如图1，RtΔACB中，∠C90°，点D在AC上，∠CBD∠

如图1， $Rt Δ ACB$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AC$ 上， $∠ CBD = ∠ A$ ，过 $A$ 、 $D$ 两点的圆的圆心 $O$ 在 $AB$ 上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $⊙ O$ （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $BD$ 所在直线与（1）中所作的 $⊙ O$ 的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ， $F$ 为垂足，若点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点（即 $\frac{DC}{AD} = \frac{AD}{AC})$ ，如图2，试说明四边形 $DEFC$ 是正方形）．

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如图，已知 $∠ MAN$ ，及线段 $a$ ， $b (a > b)$ ．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线 $AM$ 、 $AN$ 上确定点 $B$ 、点 $C$ ，使得 $AC = b$ ， $AB + BC = a$ （保留作图痕迹，不要作法）；

（2）若 $\sin ∠ MAN = \frac{5}{13}$ ， $a = 61$ ， $b = 39$ ，则 $ΔABC$ 的面积为　　．

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如图，已知 $∠ MAN$ ，及线段 $a$ ， $b (a > b)$ ．

（1）仅用没有刻度的直尺和圆规分别在射线 $AM$ 、 $AN$ 上确定点 $B$ 、点 $C$ ，使得 $AC = b$ ， $AB + BC = a$ （保留作图痕迹，不要作法）；

（2）若 $\sin ∠ MAN = \frac{5}{13}$ ， $a = 61$ ， $b = 39$ ，则 $ΔABC$ 的面积为　　．

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如图， $ΔABC$ 中， $∠ ACB > ∠ ABC$ ．

（1）用直尺和圆规在 $∠ ACB$ 的内部作射线 $CM$ ，使 $∠ ACM = ∠ ABC$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）若（1）中的射线 $CM$ 交 $AB$ 于点 $D$ ， $AB = 9$ ， $AC = 6$ ，求 $AD$ 的长．

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“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知 $∠ AOB$ ，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 $∠ AOB$ 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

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如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

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