如图1，RtΔACB中，∠C90°，点D在AC上，∠CBD∠

如图1， $Rt Δ ACB$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AC$ 上， $∠ CBD = ∠ A$ ，过 $A$ 、 $D$ 两点的圆的圆心 $O$ 在 $AB$ 上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $⊙ O$ （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $BD$ 所在直线与（1）中所作的 $⊙ O$ 的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ， $F$ 为垂足，若点 $D$ 是线段 $AC$ 的黄金分割点（即 $\frac{DC}{AD} = \frac{AD}{AC})$ ，如图2，试说明四边形 $DEFC$ 是正方形）．

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相关试题

如图， $AD$ 是 $ΔABC$ 的角平分线．

（1）作线段 $AD$ 的垂直平分线 $EF$ ，分别交 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法． $)$

（2）连接 $DE$ 、 $DF$ ，四边形 $AEDF$ 是　　形．（直接写出答案）

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按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．

（1）如图1， $A$ 为 $⊙ O$ 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出 $⊙ O$ 的内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．

①如图2，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 为 $CD$ 的中点，作 $BC$ 的中点 $F$ ．

②如图3，在由小正方形组成的 $4 \times 3$ 的网格中， $ΔABC$ 的顶点都在小正方形的顶点上，作 $ΔABC$ 的高 $AH$ ．

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如图， $AB$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆上一点， $AC < BC$ ．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在 $BC$ 上作一点 $D$ ，使得直线 $OD$ 平分 $ABC$ 的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $AB = 10$ ， $OD = 2 \sqrt{5}$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

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如图， $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 4$ ， $BC = 8$ ．

（1）用直尺和圆规作 $AB$ 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若（1）中所作的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$ ，求 $BD$ 的长．

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如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $ΔOAB$ 的三个顶点 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 1)$ 、 $B (4, 4)$ 均在格点上．

（1）画出 $ΔOAB$ 关于 $y$ 轴对称的△ $O A_{1} B_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔOAB$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $O A_{2} B_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $OA$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π)$ ．

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