如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，点 $D$ 在以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上，过 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 延长线于点 $C$ ， $AE ⊥ CD$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ ， $FD$ ．

（1）求证： $∠ DAE = ∠ DAC$ ；

（2）求证： $DF \cdot AC = AD \cdot DC$ ；

（3）若 $\sin ∠ C = \frac{1}{4}$ ， $AD = 4 \sqrt{10}$ ，求 $EF$ 的长．

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（1）计算： $2 \div \frac{1}{2} - {(- 1)}^{2020} - \sqrt{4} - {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{0}$ ．

（2）先化简，再求值： $(a + \frac{3 - a^{2}}{a - 3}) \div (\frac{a^{2} - 1}{a - 3})$ ，自选一个 $a$ 值代入求值．

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观察下列等式：

$2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ；

$2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ；

$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ；

$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} = 2^{6} - 2$ ；

$\dots$

已知按一定规律排列的一组数： $2^{20}$ ， $2^{21}$ ， $2^{22}$ ， $2^{23}$ ， $2^{24}$ ， $\dots$ ， $2^{38}$ ， $2^{39}$ ， $2^{40}$ ，若 $2^{20} = m$ ，则 $2^{20} + 2^{21} + 2^{22} + 2^{23} + 2^{24} + \dots + 2^{38} + 2^{39} + 2^{40} =$ 　　（结果用含 $m$ 的代数式表示）．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 4$ ，将 $∠ A$ 向内翻折，点 $A$ 落在 $BC$ 上，记为 $A_{1}$ ，折痕为 $DE$ ．若将 $∠ B$ 沿 $E A_{1}$ 向内翻折，点 $B$ 恰好落在 $DE$ 上，记为 $B_{1}$ ，则 $AB =$ 　　．

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设 $AB$ ， $CD$ ， $EF$ 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 $AB$ 与 $CD$ 的距离是 $12 cm$ ， $EF$ 与 $CD$ 的距离是 $5 cm$ ，则 $AB$ 与 $EF$ 的距离等于　　 $cm$ ．

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从 $- 2$ ， $- 1$ ，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　　．

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