初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过 $\mathit{Rt}△\mathit{ACD}$的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点， $\angle C＝90°$，连接AF．

（1）求证：直线CD是⊙O切线．

（2）若 $\mathit{BD}＝2$， $\mathit{OB}＝4$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AFC}$的值．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别为 $A(3,0)$， $B(0,4)$， $C(-3,0)$．动点 $M$， $N$同时从 $A$点出发， $M$沿 $A\to C$， $N$沿折线 $A\to B\to C$，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 $C$时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 $t$秒．连接 $\mathit{MN}$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）移动过程中，将 $\mathit{\Delta AMN}$沿直线 $\mathit{MN}$翻折，点 $A$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $D$处，求此时 $t$值及点 $D$的坐标；

（3）当点 $M$， $N$移动时，记 $\mathit{\Delta ABC}$在直线 $\mathit{MN}$右侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的函数关系式．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{DAC}$，分别交 $\mathit{DC}$， $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$， $F$；连接 $\mathit{DF}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$于点 $G$， $H$．

（1）求 $\mathit{DE}$的长；

（2）求证： $\angle 1=\angle \mathit{DFC}$．

如图，过 $\odot O$外一点 $P$作 $\odot O$的切线 $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$，连接 $\mathit{PO}$并延长，与 $\odot O$交于 $C$、 $D$两点， $M$是半圆 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求证： $C{M}^2=\mathit{MN}\cdot \mathit{MA}$；

（2）若 $\angle P=30°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{CM}$的长．

如图所示，以 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$，点 $C$在 $\odot O$上， $\mathit{BD}$是 $\odot O$的弦， $\angle A=\angle \mathit{CBD}$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，交 $\mathit{BD}$于点 $G$，过 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{BD}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{CG}=\mathit{BG}$；

（3）若 $\angle \mathit{DBA}=30°$， $\mathit{CG}=4$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图， $C$是 $\odot O$上一点，点 $P$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上， $\odot O$的半径为3， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=4$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAB}$的值．

如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$于点 $E$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\mathit{BD}$，点 $M$为 $\mathit{BC}$中点， $N$为线段 $\mathit{AM}$上的点，且 $\mathit{MB}=\mathit{MN}$．

（1）求证： $\mathit{BN}$平分 $\angle \mathit{ABE}$；

（2）若 $\mathit{BD}=1$，连接 $\mathit{DN}$，当四边形 $\mathit{DNBC}$为平行四边形时，求线段 $\mathit{BC}$的长；

（3）如图②，若点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{FN}$、 $\mathit{FM}$，求证： $\mathit{\Delta MFN}\backsim \mathit{\Delta BDC}$．

古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图， $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BCA}＝90°$， $\mathit{AC}＝3$， $\mathit{BC}＝4$，点O在线段 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{OC}=\frac{3}{2}$，以O为圆心． $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）研究过短中，小明同学发现 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AE}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\odot O$的弦 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，且 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $C{O}^2=\mathit{OF}·\mathit{OP}$；

（2）连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{CD}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，若 $\mathit{PC}=4\sqrt{2}$， $\mathit{PB}=4$，求 $\mathit{GH}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点O，交BC于点E， $\mathit{EG}＝\mathit{EC}$， $\mathit{GF}\parallel \mathit{AD}$交DE于点F，连接 $\mathit{FC}$，点H为线段 $\mathit{AO}$上一点，连接 $\mathit{HD}，\mathit{HF}$．

（1）判断四边形 $\mathit{GECF}$的形状，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DHF}＝\angle \mathit{HAD}$时，求证： $\mathit{AH}•\mathit{CH}＝\mathit{EC}•\mathit{AD}$．

已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$边上，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{AD}$交于点 $P$，设 $\mathit{AC}=\mathit{kBD}$， $\mathit{CD}=\mathit{kAE}$， $k$为常数，试探究 $\angle \mathit{APE}$的度数：

（1）如图1，若 $k=1$，则 $\angle \mathit{APE}$的度数为　　；

（2）如图2，若 $k=\sqrt{3}$，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $\angle \mathit{APE}$的度数．

（3）如图3，若 $k=\sqrt{3}$，且 $D$、 $E$分别在 $\mathit{CB}$、 $\mathit{CA}$的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $P$是 $\odot O$外的一点， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的两条切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{PO}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，延长 $\mathit{BO}$交 $\odot O$于点 $C$，交 $\mathit{PA}$的延长交于点 $Q$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}//\mathit{PO}$；

（2）设 $D$为 $\mathit{PB}$的中点， $\mathit{QD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\odot O$的半径为3， $\mathit{CQ}=2$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$边于点 $E$，交 $\odot O$于点 $D$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，设 $\odot O$的半径为 $R$， $\mathit{AF}=h$．

（1）过点 $D$作直线 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$，求证： $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{AB}·\mathit{AC}=2R·h$；

（3）设 $\angle \mathit{BAC}=2\alpha$，求 $\frac{\mathit{AB}+\mathit{AC}}{\mathit{AD}}$的值（用含 $\alpha$的代数式表示）．

如图1， $D$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BC}$上的一点，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\odot O$于 $E$、 $N$， $F$是 $\odot O$上的一点，过 $F$的直线分别与 $\mathit{CB}$、 $\mathit{DE}$的延长线相交于 $A$、 $P$，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{PD}$于 $M$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle P$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle A=30°$， $\odot O$的半径为4， $\mathit{DM}=1$，求 $\mathit{PM}$的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，连接 $\mathit{BF}$、 $\mathit{BM}$；在线段 $\mathit{DN}$上有一点 $H$，并且以 $H$、 $D$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BFM}$相似，求 $\mathit{DH}$的长度．

如图， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $\odot O$的直径，点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上，且满足 $\angle \mathit{PAC}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）弦 $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{AF}·\mathit{AB}=12$，求 $\mathit{AC}$的长．