古希腊数学家毕达哥拉斯认为：一切平面图形中最美的圆，请研究如

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的圆”，请研究如下美丽的圆，如图， $Rt △ ABC$ 中， $∠ BCA ＝ 90 °$ ， $AC ＝ 3$ ， $BC ＝ 4$ ，点O在线段 $BC$ 上，且 $OC = \frac{3}{2}$ ，以O为圆心． $OC$ 为半径的 $⊙ O$ 交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）研究过短中，小明同学发现 $\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AC}$ ，回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由．

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相关试题

如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AB$ ， $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $DC$ ，点 $M$ ， $P$ ， $N$ 分别为 $DE$ ， $DC$ ， $BC$ 的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）探究证明：把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 $MN$ ， $BD$ ， $CE$ ，判断 $ΔPMN$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 4$ ， $AB = 10$ ，请直接写出 $ΔPMN$ 面积的最大值．

题型：未知
难度：未知

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学校“百变魔方”社团准备购买 $A$ ， $B$ 两种魔方，已知购买2个 $A$ 种魔方和6个 $B$ 种魔方共需130元，购买3个 $A$ 种魔方和4个 $B$ 种魔方所需款数相同．

（1）求这两种魔方的单价；

（2）结合社员们的需求，社团决定购买 $A$ ， $B$ 两种魔方共100个（其中 $A$ 种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．

题型：未知
难度：未知

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如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 3)$ 和 $B (3, 1)$ ．

（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点 $P$ 是线段 $AB$ 上一点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $OP$ ，若 $ΔPOD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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如图所示，我国两艘海监船 $A$ ， $B$ 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 $C$ ，此时， $B$ 船在 $A$ 船的正南方向5海里处， $A$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $45 °$ 方向， $B$ 船测得渔船 $C$ 在其南偏东 $53 °$ 方向，已知 $A$ 船的航速为30海里 $/$ 小时， $B$ 船的航速为25海里 $/$ 小时，问 $C$ 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 边于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $CF / / AB$ ，与过点 $B$ 的切线交于点 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $BD = BF$ ；

（2）若 $AB = 10$ ， $CD = 4$ ，求 $BC$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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