初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{BAD}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{BAC}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}//\mathit{DE}$，当 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CE}=2$时，求 $\mathit{AC}$的长．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$．

（1）如图1， $E$， $G$分别是 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{CE}$与 $\mathit{DG}$的延长线相交于点 $F$．若 $\mathit{DF}\perp \mathit{CE}$，求证： $\mathit{OE}=\mathit{OG}$；

（2）如图2， $H$是 $\mathit{BC}$上的点，过点 $H$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{BC}$，交线段 $\mathit{OB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DH}$交 $\mathit{CE}$于点 $F$，交 $\mathit{OC}$于点 $G$．若 $\mathit{OE}=\mathit{OG}$，

①求证： $\angle \mathit{ODG}=\angle \mathit{OCE}$；

②当 $\mathit{AB}=1$时，求 $\mathit{HC}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{OD}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{OD}$与 $\mathit{AC}$的延长线交于点 $D$，点 $E$在 $\mathit{OD}$上，且 $\mathit{CE}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{OA}=2\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=3$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABM}$和 $\text{Rt}\Delta \text{ADN}$的斜边分别为正方形的边 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AD}$，其中 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$．

（1）求证： $\text{Rt}\Delta \text{ABM}\cong \text{Rt}\Delta \text{AND}$；

（2）线段 $\mathit{MN}$与线段 $\mathit{AD}$相交于 $T$，若 $\mathit{AT}=\frac{1}{4}\mathit{AD}$，求 $\tan \angle \mathit{ABM}$的值．

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，求 $\angle A$的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $\mathit{DEBF}$，使顶点 $E$， $F$分别落在边 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$上的点 $A$， $C$处，折痕分别为 $\mathit{DG}$， $\mathit{DH}$．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle B=\angle C$，若 $\mathit{CB}=\mathit{CD}=4$，则当 $\mathit{AD}$的长为何值时， $\mathit{AB}$的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $\mathit{AC}$的长．

如图，已知二次函数的图象过点 $O(0,0)$， $A(8,4)$，与 $x$轴交于另一点 $B$，且对称轴是直线 $x=3$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$是 $\mathit{OB}$上的一点，作 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$交 $\mathit{OA}$于 $N$，当 $\mathit{\Delta ANM}$面积最大时，求 $M$的坐标；

（3） $P$是 $x$轴上的点，过 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴与抛物线交于 $Q$．过 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于 $C$，当以 $O$， $P$， $Q$为顶点的三角形与以 $O$， $A$， $C$为顶点的三角形相似时，求 $P$点的坐标．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 直径，点 $C$ ， $D$ 为 $\odot O$ 上的两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ， $\odot O$ 的切线 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{BD}$ 延长线相交于点 $F$ ， $A$ 为切点．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{AE}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上， $\angle \mathit{AED}=\angle B$，射线 $\mathit{AG}$分别交线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{BC}$于点 $F$， $G$，且 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}=\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CG}}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADF}\backsim \mathit{\Delta ACG}$；

（2）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}=\frac{1}{2}$，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FG}}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$．

（1）作出经过点 $B$，圆心 $O$在斜边 $\mathit{AB}$上且与边 $\mathit{AC}$相切于点 $E$的 $\odot O$（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的 $\odot O$与边 $\mathit{AB}$交于异于点 $B$的另外一点 $D$，若 $\odot O$的直径为5， $\mathit{BC}=4$；求 $\mathit{DE}$的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

已知：如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $M$是斜边 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{MD}//\mathit{BC}$，且 $\mathit{MD}=\mathit{CM}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta MED}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（2）求证： $\mathit{\Delta AMD}\cong \mathit{\Delta CMD}$；

（3）设 $\mathit{\Delta MDE}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{BCMD}$的面积为 $S_2$，当 $S_2=\frac{17}{5}{S}_1$时，求 $\cos \angle \mathit{ABC}$的值．

如图， $\mathit{AB}$为圆 $O$的直径， $C$为圆 $O$上一点， $D$为 $\mathit{BC}$延长线一点，且 $\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证：直线 $\mathit{EC}$为圆 $O$的切线；

（2）设 $\mathit{BE}$与圆 $O$交于点 $F$， $\mathit{AF}$的延长线与 $\mathit{CE}$交于点 $P$，已知 $\angle \mathit{PCF}=\angle \mathit{CBF}$， $\mathit{PC}=5$， $\mathit{PF}=4$，求 $\sin \angle \mathit{PEF}$的值．

如图，过 $\odot O$外一点 $P$作 $\odot O$的切线 $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$，连接 $\mathit{PO}$并延长，与 $\odot O$交于 $C$、 $D$两点， $M$是半圆 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求证： $C{M}^2=\mathit{MN}\cdot \mathit{MA}$；

（2）若 $\angle P=30°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{CM}$的长．

如图，以 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交斜边 $\mathit{AC}$于点 $D$，过圆心 $O$作 $\mathit{OE}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系并说明理由；

（2）求证： $2D{E}^2=\mathit{CD}·\mathit{OE}$；

（3）若 $\tan C=\frac{4}{3}$， $\mathit{DE}=\frac{5}{2}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图， $C$是 $\odot O$上一点，点 $P$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上， $\odot O$的半径为3， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=4$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAB}$的值．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．