如图，在ΔABC中，∠ACB90°．（1）作出经过点B，圆心

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ．

（1）作出经过点 $B$ ，圆心 $O$ 在斜边 $AB$ 上且与边 $AC$ 相切于点 $E$ 的 $⊙ O$ （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设（1）中所作的 $⊙ O$ 与边 $AB$ 交于异于点 $B$ 的另外一点 $D$ ，若 $⊙ O$ 的直径为5， $BC = 4$ ；求 $DE$ 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）

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为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

课外阅读时间（单位：小时）	频数（人数）	频率
$0 < t ⩽ 2$	2	0.04
$2 < t ⩽ 4$	3	0.06
$4 < t ⩽ 6$	15	0.30
$6 < t ⩽ 8$	$a$	0.50
$t > 8$	5	$b$

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

题型：解答题
难度：中等

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我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的 $\frac{2}{3}$ ，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？

题型：解答题
难度：中等

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如图，直线 $y = x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 在第一象限内交于点 $A (1, 2)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $ΔBCP$ 的面积等于2，求 $P$ 点的坐标．

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难度：中等

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求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ，　　．

求证：　　．

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难度：中等

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已知点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 的中点．

（1）如图1，若点 $E$ 是 $OD$ 的中点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使得 $∠ CEF = 90 °$ ，过点 $E$ 作 $ME / / AD$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．求证：

① $∠ AEM = ∠ FEM$ ； ②点 $F$ 是 $AB$ 的中点；

（2）如图2，若点 $E$ 是 $OD$ 上一点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使 $\frac{DE}{DO} = \frac{AF}{AB} = \frac{1}{3}$ ，请判断 $ΔEFC$ 的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$ 是 $OD$ 上的动点（不与 $O$ ， $D$ 重合），连接 $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ CE$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ，当 $\frac{DE}{DB} = \frac{m}{n}$ 时，请猜想 $\frac{AF}{AB}$ 的值（请直接写出结论）．

题型：解答题
难度：较难

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