如图1，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\sqrt{5}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $E$从点 $D$出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线 $\mathit{DA}$的方向匀速运动，设运动时间为 $t$（秒 $)$，将线段 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转一个角 $\alpha (\alpha =\angle \mathit{BCD})$，得到对应线段 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$；

（2）当 $t=$　       　秒时， $\mathit{DF}$的长度有最小值，最小值等于　          　；

（3）如图2，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{BD}$交 $\mathit{EC}$、 $\mathit{EF}$于点 $P$、 $Q$，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta EPQ}$是直角三角形？

（4）如图3，将线段 $\mathit{CD}$绕点 $C$顺时针旋转一个角 $\alpha (\alpha =\angle \mathit{BCD})$，得到对应线段 $\mathit{CG}$．在点 $E$的运动过程中，当它的对应点 $F$位于直线 $\mathit{AD}$上方时，直接写出点 $F$到直线 $\mathit{AD}$的距离 $y$关于时间 $t$的函数表达式．