初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}+\mathit{CD}$ ．

（1）过点 $A$ 作 $\mathit{AE}//\mathit{DC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{AB}$ 翻折得到 $\mathit{\Delta AB}{D}^{\text{'}}$ ．

①求证： $B{D}^{\text{'}}//\mathit{CD}$ ；

②若 $A{D}^{\text{'}}//\mathit{BC}$ ，求证： $C{D}^2=2\mathit{OD}·\mathit{BD}$ ．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $G$分别是边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AF}=\frac{1}{4}\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{EF}\perp \mathit{AG}$；

（2）若点 $F$、 $G$分别在射线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上同时向右、向上运动，点 $G$运动速度是点 $F$运动速度的2倍， $\mathit{EF}\perp \mathit{AG}$是否成立（只写结果，不需说明理由）？

（3）正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $P$是正方形 $\mathit{ABCD}$内一点，当 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$周长的最小值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta BEC}$均为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{BEC}=90°$， $\mathit{AC}=4\sqrt{2}$，点 $P$为线段 $\mathit{BE}$延长线上一点，连接 $\mathit{CP}$以 $\mathit{CP}$为直角边向下作等腰直角 $\mathit{\Delta CPD}$，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $F$

（1）求证： $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{CD}}=\frac{\mathit{CE}}{\mathit{CB}}$；

（2）连接 $\mathit{BD}$，请你判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$有什么位置关系？并说明理由；

（3）设 $\mathit{PE}=x$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数关系式．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $A$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BDC}}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{AC}$于 $A$，与 $\odot O$及 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $F$、 $E$，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}=\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADC}\backsim \mathit{\Delta EBA}$；

（2）如果 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\tan \angle \mathit{CAD}$的值．

如图，在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$、 $C$分别在 $x$轴和 $y$轴正半轴上，点 $B$的坐标是 $(5,2)$，点 $P$是 $\mathit{CB}$边上一动点（不与点 $C$、点 $B$重合），连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$，过点 $O$作射线 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{CB}$边于点 $M$，且 $\angle \mathit{AOP}=\angle \mathit{COM}$，令 $\mathit{CP}=x$， $\mathit{MP}=y$．

（1）当 $x$为何值时， $\mathit{OP}\perp \mathit{AP}$？

（2）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（3）在点 $P$的运动过程中，是否存在 $x$，使 $\mathit{\Delta OCM}$的面积与 $\mathit{\Delta ABP}$的面积之和等于 $\mathit{\Delta EMP}$的面积？若存在，请求 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OD}$ ， $\angle \mathit{ABO}=\angle \mathit{DCO}$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$ ，交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证 $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta DOC}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CE}=1$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{AD}$是中线，求 $\mathit{AD}$的取值范围．她的做法是：延长 $\mathit{AD}$到 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BE}$，证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明 $\mathit{\Delta BED}\cong \mathit{\Delta CAD}$的判定定理是：　 　；

（2） $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

方法运用：

（3）如图2， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，在 $\mathit{AD}$上取一点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $E$，使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BF}=\mathit{AC}$．

（4）如图3，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，在 $\mathit{BD}$上取一点 $F$，以 $\mathit{BF}$为斜边作 $\text{Rt}\Delta \text{BEF}$，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BE}}=\frac{1}{2}$，点 $G$是 $\mathit{DF}$的中点，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{CG}$，求证： $\mathit{EG}=\mathit{CG}$．

如图，已知 $\odot O$的半径为 $6\mathit{cm}$，射线 $\mathit{PM}$经过点 $O$， $\mathit{OP}=10\mathit{cm}$，射线 $\mathit{PN}$与 $\odot O$相切于点 $Q$． $A$、 $B$两点同时从点 $P$出发，点 $A$以 $5\mathit{cm}/s$的速度沿射线 $\mathit{PM}$方向运动，点 $B$以 $4\mathit{cm}/s$的速度沿射线 $\mathit{PN}$方向运动，设运动时间为 $\mathit{ts}$．

（1）求 $\mathit{PQ}$的长；

（2）当直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切时，求证： $\mathit{AB}\perp \mathit{PN}$；

（3）当 $t$为何值时，直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切？

如图，点 $D$是等边三角形 $\mathit{ABC}$外接圆上一点． $M$是 $\mathit{BD}$上一点，且满足 $\mathit{DM}=\mathit{DC}$，点 $E$是 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点．

（1）求证： $\mathit{CM}//\mathit{AD}$；

（2）如果 $\mathit{AD}=1$， $\mathit{CM}=2$．求线段 $\mathit{BD}$的长及 $\mathit{\Delta BCE}$的面积．

如图，已知 $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径， $C$为半圆 $O$上一点，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，过点 $O$作 $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$，过点 $A$作半圆 $O$的切线交 $\mathit{OD}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$并延长交 $\mathit{AE}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AE}·\mathit{BC}=\mathit{AD}·\mathit{AB}$；

（2）若半圆 $O$的直径为10， $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上一点，连接 $\mathit{DE}$，过顶点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{DE}$，垂足为 $F$， $\mathit{BF}$分别交 $\mathit{AC}$于 $H$，交 $\mathit{CD}$于 $G$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$；

（2）若点 $G$为 $\mathit{CD}$的中点，求 $\frac{\mathit{HG}}{\mathit{GF}}$的值．

如图①， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=45°$， $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，点 $D$在 $\mathit{AH}$上，且 $\mathit{DH}=\mathit{CH}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{AC}$；

（2）将 $\mathit{\Delta BHD}$绕点 $H$旋转，得到 $\mathit{\Delta EHF}$（点 $B$， $D$分别与点 $E$， $F$对应），连接 $\mathit{AE}$．

①如图②，当点 $F$落在 $\mathit{AC}$上时， $(F$不与 $C$重合），若 $\mathit{BC}=4$， $\tan C=3$，求 $\mathit{AE}$的长；

②如图③，当 $\mathit{\Delta EHF}$是由 $\mathit{\Delta BHD}$绕点 $H$逆时针旋转 $30°$得到时，设射线 $\mathit{CF}$与 $\mathit{AE}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{GH}$，试探究线段 $\mathit{GH}$与 $\mathit{EF}$之间满足的等量关系，并说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{CB}$为半径作 $\odot C$，交 $\mathit{AC}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta AEB}$；

（2）当 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{4}{3}$时，求 $\tan E$；

（3）在（2）的条件下，作 $\angle \mathit{BAC}$的平分线，与 $\mathit{BE}$交于点 $F$，若 $\mathit{AF}=2$，求 $\odot C$的半径．

如图，点 $C$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，点 $D$ 是半圆 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BD}$ ．过点 $D$ 作 $\mathit{DH}//\mathit{AB}$ 交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $H$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{DH}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{BC}=6$ ，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BH}$ 的长．

如图， $\odot O$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$和斜边 $\mathit{AB}$分别相切于点 $C$、 $D$，与边 $\mathit{BC}$相交于点 $F$， $\mathit{OA}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$，连接 $\mathit{FE}$并延长交 $\mathit{AC}$边于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DF}//\mathit{AO}$；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{AB}=10$，求 $\mathit{CG}$的长．