如图①， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=45°$， $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，点 $D$在 $\mathit{AH}$上，且 $\mathit{DH}=\mathit{CH}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{AC}$；

（2）将 $\mathit{\Delta BHD}$绕点 $H$旋转，得到 $\mathit{\Delta EHF}$（点 $B$， $D$分别与点 $E$， $F$对应），连接 $\mathit{AE}$．

①如图②，当点 $F$落在 $\mathit{AC}$上时， $(F$不与 $C$重合），若 $\mathit{BC}=4$， $\tan C=3$，求 $\mathit{AE}$的长；

②如图③，当 $\mathit{\Delta EHF}$是由 $\mathit{\Delta BHD}$绕点 $H$逆时针旋转 $30°$得到时，设射线 $\mathit{CF}$与 $\mathit{AE}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{GH}$，试探究线段 $\mathit{GH}$与 $\mathit{EF}$之间满足的等量关系，并说明理由．