初中数学三角形解答题

如图， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线，在 $\mathit{AB}$ 上取点 $D$ ，使 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ；

（2）若 $\angle A=65°$ ， $\angle \mathit{AED}=45°$ ，求 $\angle \mathit{EBC}$ 的度数．

如图，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\angle \mathit{AOC}=\angle \mathit{BOD}$．

求证： $\mathit{\Delta AOB}\cong \mathit{\Delta COD}$．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{BAM}$的平分线与它的外接圆相交于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CM}$于点 $D$．

求证：（1） $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2） $\mathit{EF}$为 $\odot O$的切线．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=\sqrt{2}+1$，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AD}=\mathit{AE}=1$，连接 $\mathit{DE}$．现将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，如图2，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$．

（1）当 $0°<\alpha <180°$时，求证： $\mathit{CE}=\mathit{BD}$；

（2）如图3，当 $\alpha =90°$时，延长 $\mathit{CE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，求证： $\mathit{CF}$垂直平分 $\mathit{BD}$；

（3）在旋转过程中，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积的最大值，并写出此时旋转角 $\alpha$的度数．

如图，在等边三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $E$是边 $\mathit{AC}$上一定点，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上一动点，以 $\mathit{DE}$为一边作等边三角形 $\mathit{DEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

【问题解决】

如图1，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$上，求证： $\mathit{CE}+\mathit{CF}=\mathit{CD}$；

【类比探究】

如图2，若点 $D$在边 $\mathit{BC}$的延长线上，请探究线段 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$与 $\mathit{CD}$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$边于点 $E$，交 $\odot O$于点 $D$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，设 $\odot O$的半径为 $R$， $\mathit{AF}=h$．

（1）过点 $D$作直线 $\mathit{MN}//\mathit{BC}$，求证： $\mathit{MN}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $\mathit{AB}·\mathit{AC}=2R·h$；

（3）设 $\angle \mathit{BAC}=2\alpha$，求 $\frac{\mathit{AB}+\mathit{AC}}{\mathit{AD}}$的值（用含 $\alpha$的代数式表示）．

已知：如图， $E$是 $▱\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$延长线上的一点，且 $\mathit{CE}=\mathit{BC}$．

求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DCE}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}=20$ ， $\mathit{BC}=\mathit{DC}=10\sqrt{2}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta ADC}$ ；

（2）当 $\angle \mathit{BCA}=45°$ 时，求 $\angle \mathit{BAD}$ 的度数．

小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $\angle \mathit{ACB}$ 与 $\angle \mathit{ECD}$ 恰好为对顶角， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{CDE}=90°$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$ ，点 $F$ 是线段 $\mathit{CE}$ 上一点．

探究发现：

（1）当点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点时，连接 $\mathit{DF}$ （如图（2） $)$ ，小明经过探究，得到结论： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ．你认为此结论是否成立？ 　 　．（填"是"或"否" $)$

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： $\mathit{BD}\perp \mathit{DF}$ ，则点 $F$ 为线段 $\mathit{CE}$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{CE}=9$ ，求 $\mathit{AD}$ 的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$是中线， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，一个以点 $D$为顶点的 $45°$角绕点 $D$旋转，使角的两边分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$的延长线相交，交点分别为点 $E$、 $F$， $\mathit{DF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $M$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{BC}$交于点 $N$．

（1）如图1，若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$；

（2）如图2，在 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转的过程中，试证明 $C{D}^2=\mathit{CE}·\mathit{CF}$恒成立；

（3）若 $\mathit{CD}=2$， $\mathit{CF}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{DN}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．

如图， $\mathit{AB}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $O$ ，在 $\mathit{\Delta AOC}$ 与 $\mathit{\Delta BOD}$ 中，有下列三个条件：① $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，② $\mathit{AC}=\mathit{BD}$ ，③ $\angle A=\angle B$ ．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．

（1）你选的条件为 　　、 　　，结论为 　　；

（2）证明你的结论．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点O，交BC于点E， $\mathit{EG}＝\mathit{EC}$， $\mathit{GF}\parallel \mathit{AD}$交DE于点F，连接 $\mathit{FC}$，点H为线段 $\mathit{AO}$上一点，连接 $\mathit{HD}，\mathit{HF}$．

（1）判断四边形 $\mathit{GECF}$的形状，并说明理由；

（2）当 $\angle \mathit{DHF}＝\angle \mathit{HAD}$时，求证： $\mathit{AH}•\mathit{CH}＝\mathit{EC}•\mathit{AD}$．