小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $∠ ACB$ 与 $∠ ECD$ 恰好为对顶角， $∠ ABC = ∠ CDE = 90 °$ ，连接 $BD$ ， $AB = BD$ ，点 $F$ 是线段 $CE$ 上一点．

探究发现：

（1）当点 $F$ 为线段 $CE$ 的中点时，连接 $DF$ （如图（2） $)$ ，小明经过探究，得到结论： $BD ⊥ DF$ ．你认为此结论是否成立？　　．（填"是"或"否" $)$

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： $BD ⊥ DF$ ，则点 $F$ 为线段 $CE$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 $AB = 6$ ， $CE = 9$ ，求 $AD$ 的长．

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如图，在 $ΔACE$ 中，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $CE$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，且 $∠ DAE = ∠ ACE$ ，连接 $OD$ 并延长交 $AE$ 的延长线于点 $P$ ， $PB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ．

（1）求证： $AP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $AB$ 交 $OP$ 于点 $F$ ，求证： $ΔFAD ∽ ΔDAE$ ；

（3）若 $\tan ∠ OAF = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{AP}$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 $A$ 型和 $B$ 型两款垃圾分拣机器人，已知2台 $A$ 型机器人和5台 $B$ 型机器人同时工作 $2 h$ 共分拣垃圾3.6吨，3台 $A$ 型机器人和2台 $B$ 型机器人同时工作 $5 h$ 共分拣垃圾8吨．

（1）1台 $A$ 型机器人和1台 $B$ 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 $A$ 型和 $B$ 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买 $A$ 型机器人 $a$ 台 $(10 ⩽ a ⩽ 45)$ ， $B$ 型机器人 $b$ 台，请用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ；

（3）机器人公司的报价如下表：

型号	原价	购买数量少于30台	购买数量不少于30台
$A$ 型	20万元 $/$ 台	原价购买	打九折
$B$ 型	12万元 $/$ 台	原价购买	打八折

在（2）的条件下，设购买总费用为 $w$ 万元，问如何购买使得总费用 $w$ 最少？请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，一艘渔船位于小岛 $B$ 的北偏东 $30 °$ 方向，距离小岛 $40 nmile$ 的点 $A$ 处，它沿着点 $A$ 的南偏东 $15 °$ 的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛 $B$ 最近（结果保留根号）？

（2）渔船到达距离小岛 $B$ 最近点后，按原航向继续航行 $20 \sqrt{6} nmile$ 到点 $C$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $B$ 上的救援队求救，问救援队从 $B$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？

题型：未知
难度：未知

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小手拉大手，共创文明城．某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩（成绩得分用 $x$ 表示，单位：分），收集数据如下：

90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100

整理数据：

$80 ⩽ x < 85$	$85 ⩽ x < 90$	$90 ⩽ x < 95$	$95 ⩽ x ⩽ 100$
3	4	$a$	8

分析数据：

平均分	中位数	众数
92	$b$	$c$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述表格中 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？

（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．

题型：未知
难度：未知

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如图，点 $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 在一条直线上， $AB = DE$ ， $AC = DF$ ， $BE = CF$ ．

（1）求证： $ΔABC ≅ ΔDEF$ ；

（2）连接 $AD$ ，求证：四边形 $ABED$ 是平行四边形．

题型：未知
难度：未知

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