小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形， $∠ ACB$ 与 $∠ ECD$ 恰好为对顶角， $∠ ABC = ∠ CDE = 90 °$ ，连接 $BD$ ， $AB = BD$ ，点 $F$ 是线段 $CE$ 上一点．

探究发现：

（1）当点 $F$ 为线段 $CE$ 的中点时，连接 $DF$ （如图（2） $)$ ，小明经过探究，得到结论： $BD ⊥ DF$ ．你认为此结论是否成立？　　．（填"是"或"否" $)$

拓展延伸：

（2）将（1）中的条件与结论互换，即： $BD ⊥ DF$ ，则点 $F$ 为线段 $CE$ 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

问题解决：

（3）若 $AB = 6$ ， $CE = 9$ ，求 $AD$ 的长．

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规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 $α (0 ° < α ⩽ 180 °)$ 后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 $α$ 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点 $O$ 旋转 $90 °$ 或 $180 °$ 后，能与自身重合（如图 $1)$ ，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．

根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　　；

$A$ ．矩形

$B$ ．正五边形

$C$ ．菱形

$D$ ．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　　（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．

其中真命题的个数有　　个；

$A$ ．0

$B$ ．1

$C$ ．2

$D$ ．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 $45 °$ ， $90 °$ ， $135 °$ ， $180 °$ ，将图形补充完整．

题型：未知
难度：未知

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（1）计算 ${(- 2)}^{2} - | - \sqrt{2} | - 2 \cos 45 ° + {(2020 - π)}^{0}$ ；

（2）先化简，再求值： $(\frac{2}{a + 1} + \frac{a + 2}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$ ，其中 $a = \sqrt{5} - 1$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = x + 1$ 与直线 $l_{2} : x = - 2$ 相交于点 $D$ ，点 $A$ 是直线 $l_{2}$ 上的动点，过点 $A$ 作 $AB ⊥ l_{1}$ 于点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．设点 $A$ 的纵坐标为 $t$ ， $ΔABC$ 的面积为 $s$ ．

（1）当 $t = 2$ 时，请直接写出点 $B$ 的坐标；

（2） $s$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $s = \{\begin{matrix} \frac{1}{4} t^{2} + bt - \frac{5}{4}, t 〈- 1 或 t〉 5 \\ a (t + 1) (t - 5), - 1 < t < 5 \end{matrix}$ ，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 $a$ 与 $b$ 的值；

（3）在 $l_{2}$ 上是否存在点 $A$ ，使得 $ΔABC$ 是直角三角形？若存在，请求出此时点 $A$ 的坐标和 $ΔABC$ 的面积；若不存在，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔACE$ 中，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $CE$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ，且 $∠ DAE = ∠ ACE$ ，连接 $OD$ 并延长交 $AE$ 的延长线于点 $P$ ， $PB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ．

（1）求证： $AP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $AB$ 交 $OP$ 于点 $F$ ，求证： $ΔFAD ∽ ΔDAE$ ；

（3）若 $\tan ∠ OAF = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{AE}{AP}$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 $A$ 型和 $B$ 型两款垃圾分拣机器人，已知2台 $A$ 型机器人和5台 $B$ 型机器人同时工作 $2 h$ 共分拣垃圾3.6吨，3台 $A$ 型机器人和2台 $B$ 型机器人同时工作 $5 h$ 共分拣垃圾8吨．

（1）1台 $A$ 型机器人和1台 $B$ 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 $A$ 型和 $B$ 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买 $A$ 型机器人 $a$ 台 $(10 ⩽ a ⩽ 45)$ ， $B$ 型机器人 $b$ 台，请用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ；

（3）机器人公司的报价如下表：

型号	原价	购买数量少于30台	购买数量不少于30台
$A$ 型	20万元 $/$ 台	原价购买	打九折
$B$ 型	12万元 $/$ 台	原价购买	打八折

在（2）的条件下，设购买总费用为 $w$ 万元，问如何购买使得总费用 $w$ 最少？请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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