初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题试题

政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部 $D$ 处与将要修的大桥 $\mathit{BC}$ 位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶 $A$ 处测得 $B$ 和 $C$ 的俯角 $\angle \mathit{EAB}$ ， $\angle \mathit{EAC}$ 分别为 $67°$ 和 $22°$ ，宋老师说现在我能算出将要修的大桥 $\mathit{BC}$ 的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．

其中 $\sin 67°\approx \frac{12}{13}$ ， $\cos 67°\approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67°\approx \frac{12}{5}$ ， $\sin 22°\approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22°\approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22°\approx \frac{2}{5}$

如图，小亮为了测量校园里教学楼 $\mathit{AB}$的高度，将测角仪 $\mathit{CD}$竖直放置在与教学楼水平距离为 $18\sqrt{3}m$的地面上，若测角仪的高度是 $1.5m$．测得教学楼的顶部 $A$处的仰角为 $30°$．则教学楼的高度是 $($　　 $)$

A． $55.5m$B． $54m$C． $19.5m$D． $18m$

某市为了加快 $5G$网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点 $A$测得发射塔顶端 $P$点的仰角是 $45°$，向前走60米到达 $B$点测得 $P$点的仰角是 $60°$，测得发射塔底部 $Q$点的仰角是 $30°$．请你帮小军计算出信号发射塔 $\mathit{PQ}$的高度．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，小强想测量楼 $\mathit{CD}$的高度，楼在围墙内，小强只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距离，于是小强在 $A$处仰望楼顶，测得仰角为 $37°$，再往楼的方向前进30米至 $B$处，测得楼顶的仰角为 $53°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求楼 $\mathit{CD}$的高度（结果精确到0.1米，小强的身高忽略不计）．

越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点 $A$ 处安置测倾器，测得点 $M$ 的仰角 $\angle \mathit{MBC}=33°$ ，在与点 $A$ 相距3.5米的测点 $D$ 处安置测倾器，测得点 $M$ 的仰角 $\angle \mathit{MEC}=45°$ （点 $A$ ， $D$ 与 $N$ 在一条直线上），求电池板离地面的高度 $\mathit{MN}$ 的长．（结果精确到1米；参考数据 $\sin 33°\approx 0.54$ ， $\cos 33°\approx 0.84$ ， $\tan 33°\approx 0.65)$

如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 $\mathit{BC}$为 $30m$，在 $A$点测得 $D$点的仰角 $\angle \mathit{EAD}$为 $45°$，在 $B$点测得 $D$点的仰角 $\angle \mathit{CBD}$为 $60°$，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）

如图，为了测量山坡上一棵树 $\mathit{PQ}$的高度，小明在点 $A$处利用测角仪测得树顶 $P$的仰角为 $45°$，然后他沿着正对树 $\mathit{PQ}$的方向前进 $10m$到达点 $B$处，此时测得树顶 $P$和树底 $Q$的仰角分别是 $60°$和 $30°$，设 $\mathit{PQ}$垂直于 $\mathit{AB}$，且垂足为 $C$．

（1）求 $\angle \mathit{BPQ}$的度数；

（2）求树 $\mathit{PQ}$的高度（结果精确到 $0.1m$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$．

如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆 $\mathit{AB}$的高度，在操场的平地上选择一点 $C$，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $30°$，再向旗杆的方向前进16米，到达点 $D$处 $(C$、 $D$、 $B$三点在同一直线上），又测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $45°$，请计算旗杆 $\mathit{AB}$的高度（结果保留根号）．

如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 $\mathit{AB}=120m$ ，楼高 $\mathit{CD}=99m$ ，某天上午9时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅的点 $E$ 外．在点 $A$ 处测得点 $E$ 的俯角 $\angle \mathit{EAM}=45°$ ，上午10时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅点 $F$ 处，在点 $A$ 处测得点 $F$ 的俯角 $\angle \mathit{FAM}=60°$ ，已知每层楼的高度为 $3m$ ， $\mathit{EF}=40m$ ，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？ $(\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，楼顶上有一个广告牌 $\mathit{AB}$ ，从与楼 $\mathit{BC}$ 相距 $15m$ 的 $D$ 处观测广告牌顶部 $A$ 的仰角为 $37°$ ，观测广告牌底部 $B$ 的仰角为 $30°$ ，求广告牌 $\mathit{AB}$ 的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75°$ ，测得小区楼房 $\mathit{BC}$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45°$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $\mathit{BC}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\mathit{BC}$ 的高度为 $15\sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\mathit{AB}$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75°=2+\sqrt{3}$ ， $\tan 15°=2-\sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPA}$ 为 $30°$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPB}$ 为 $45°$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1m/s$ ，取 $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{2}=1.414)$

如图，为测量建筑物 $\mathit{CD}$的高度，在 $A$点测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $22°$，再向建筑物 $\mathit{CD}$前进30米到达 $B$点，测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $58°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60)$

小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 $M$处出发，向前走3米到达 $A$处，测得树顶端 $E$的仰角为 $30°$，他又继续走下台阶到达 $C$处，测得树的顶端 $E$的仰角是 $60°$，再继续向前走到大树底 $D$处，测得食堂楼顶 $N$的仰角为 $45°$．已知点离地面的高度 $\mathit{AB}=2$米， $\angle \mathit{BCA}=30°$，且 $B$、 $C$、 $D$三点在同一直线上．

（1）求树 $\mathit{DE}$的高度；

（2）求食堂 $\mathit{MN}$的高度．