初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题试题

如图，聪聪想在自己家的窗口 $A$处测量对面建筑物 $\mathit{CD}$的高度，他首先量出窗口 $A$到地面的距离 $\left(\mathit{AB}\right)$为 $16m$，又测得从 $A$处看建筑物底部 $C$的俯角 $\alpha$为 $30°$，看建筑物顶部 $D$的仰角 $\beta$为 $53°$，且 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$都与地面垂直，点 $A$， $B$， $C$， $D$在同一平面内．

（1）求 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$之间的距离（结果保留根号）．

（2）求建筑物 $\mathit{CD}$的高度（结果精确到 $1m)$．

（参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6$， $\tan 53\approx 1.3$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

如图，在大楼 $\mathit{AB}$正前方有一斜坡 $\mathit{CD}$，坡角 $\angle \mathit{DCE}=30°$，楼高 $\mathit{AB}=60$米，在斜坡下的点 $C$处测得楼顶 $B$的仰角为 $60°$，在斜坡上的 $D$处测得楼顶 $B$的仰角为 $45°$，其中点 $A$， $C$， $E$在同一直线上．

（1）求坡底 $C$点到大楼距离 $\mathit{AC}$的值；

（2）求斜坡 $\mathit{CD}$的长度．

如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点 $A$处测得正前方小岛 $C$的俯角为 $30°$，面向小岛方向继续飞行 $10\mathit{km}$到达 $B$处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为 $45°$，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．

如图，山顶上有一个信号塔 $\mathit{AC}$，已知信号塔高 $\mathit{AC}=15$米，在山脚下点 $B$处测得塔底 $C$的仰角 $\angle \mathit{CBD}=36.9°$，塔顶 $A$的仰角 $\angle \mathit{ABD}=42.0°$，求山高 $\mathit{CD}$（点 $A$， $C$， $D$在同一条竖直线上）．

（参考数据： $\tan 36.9°\approx 0.75$， $\sin 36.9°\approx 0.60$， $\tan 42.0°\approx 0.90$． $)$

如图，为了测出旗杆 $\mathit{AB}$的高度，在旗杆前的平地上选择一点 $C$，测得旗杆顶部 $A$的仰角为 $45°$，在 $C$、 $B$之间选择一点 $D(C$、 $D$、 $B$三点共线），测得旗杆顶部 $A$的仰角为 $75°$，且 $\mathit{CD}=8m$

（1）求点 $D$到 $\mathit{CA}$的距离；

（2）求旗杆 $\mathit{AB}$的高．

（注 $:$结果保留根号）

风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在 $A$处测得塔杆顶端 $C$的仰角是 $55°$，沿 $\mathit{HA}$方向水平前进43米到达山底 $G$处，在山顶 $B$处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 $D(D$、 $C$、 $H$在同一直线上）的仰角是 $45°$．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高 $\mathit{BG}$为10米， $\mathit{BG}\perp \mathit{HG}$， $\mathit{CH}\perp \mathit{AH}$，求塔杆 $\mathit{CH}$的高．（参考数据： $\tan 55°\approx 1.4$， $\tan 35°\approx 0.7$， $\sin 55°\approx 0.8$， $\sin 35°\approx 0.6)$

如图，为了测量某建筑物 $\mathit{MN}$的高度，在平地上 $A$处测得建筑物顶端 $M$的仰角为 $30°$，向 $N$点方向前进 $16m$到达 $B$处，在 $B$处测得建筑物顶端 $M$的仰角为 $45°$，则建筑物 $\mathit{MN}$的高度等于 $($　　 $)$

A． $8(\sqrt{3}+1)m$B． $8(\sqrt{3}-1)m$C． $16(\sqrt{3}+1)m$D． $16(\sqrt{3}-1)m$

张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30°$ ， $60°$ ，测得 $\mathit{BC}$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $\mathit{BC}$ 的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆 $\mathit{AB}$的高，他们在旗杆正前方台阶上的点 $C$处，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $45°$，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 $F$处，测得旗杆顶端 $A$的仰角为 $60°$，已知升旗台的高度 $\mathit{BE}$为1米，点 $C$距地面的高度 $\mathit{CD}$为3米，台阶 $\mathit{CF}$的坡角为 $30°$，且点 $E$、 $F$、 $D$在同一条直线上，求旗杆 $\mathit{AB}$的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，楼顶上有一个广告牌 $\mathit{AB}$ ，从与楼 $\mathit{BC}$ 相距 $15m$ 的 $D$ 处观测广告牌顶部 $A$ 的仰角为 $37°$ ，观测广告牌底部 $B$ 的仰角为 $30°$ ，求广告牌 $\mathit{AB}$ 的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75°$ ，测得小区楼房 $\mathit{BC}$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45°$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $\mathit{BC}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\mathit{BC}$ 的高度为 $15\sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\mathit{AB}$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75°=2+\sqrt{3}$ ， $\tan 15°=2-\sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPA}$ 为 $30°$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPB}$ 为 $45°$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1m/s$ ，取 $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{2}=1.414)$

如图，为测量建筑物 $\mathit{CD}$的高度，在 $A$点测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $22°$，再向建筑物 $\mathit{CD}$前进30米到达 $B$点，测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $58°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60)$

小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 $M$处出发，向前走3米到达 $A$处，测得树顶端 $E$的仰角为 $30°$，他又继续走下台阶到达 $C$处，测得树的顶端 $E$的仰角是 $60°$，再继续向前走到大树底 $D$处，测得食堂楼顶 $N$的仰角为 $45°$．已知点离地面的高度 $\mathit{AB}=2$米， $\angle \mathit{BCA}=30°$，且 $B$、 $C$、 $D$三点在同一直线上．

（1）求树 $\mathit{DE}$的高度；

（2）求食堂 $\mathit{MN}$的高度．