初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题试题

关于三角函数有如下公式： $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$， $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$， $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }(1-\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }(1+\tan \alpha \tan \beta \ne 0)$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

如： $\tan 105°=\tan (45°+60°)=\frac{\tan 45°+\tan 60°}{1-\tan 45°\tan 60°}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：

如图，两座建筑物 $\mathit{AB}$和 $\mathit{DC}$的水平距离 $\mathit{BC}$为24米，从点 $A$测得点 $D$的俯角 $\alpha =15°$，测得点 $C$的俯角 $\beta =75°$，求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．

“五 $·$一”期间，小亮与家人到某旅游风景区登山，他们沿着坡度为 $5:12$的山坡 $\mathit{AB}$向上走了1300米，到达缆车站 $B$处，乘坐缆车到达山顶 $C$处，已知点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一平面内，从山脚 $A$处看山顶 $C$处的仰角为 $30°$，缆车行驶路线 $\mathit{BC}$与水平面的夹角为 $60°$，求山高 $\mathit{CD}$．（结果精确到1米， $\sqrt{3}\approx 1.732,\sqrt{2}\approx 1.414)$

（注 $:$坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

如图，小明在距离地面30米的 $P$处测得 $A$处的俯角为 $15°$， $B$处的俯角为 $60°$．若斜面坡度为 $1:\sqrt{3}$，则斜坡 $\mathit{AB}$的长是　 　米．

某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 $\mathit{AB}$的高度．他们在 $C$处仰望建筑物顶端，测得仰角为 $48°$，再往建筑物的方向前进6米到达 $D$处，测得仰角为 $64°$，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 48°\approx \frac{7}{10}$， $\tan 48°\approx \frac{11}{10}$， $\sin 64°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 64°\approx 2)$

如图，为了测得一棵树的高度 $\mathit{AB}$，小明在 $D$处用高为 $1m$的测角仪 $\mathit{CD}$，测得树顶 $A$的仰角为 $45°$，再向树方向前进 $10m$，又测得树顶 $A$的仰角为 $60°$，求这棵树的高度 $\mathit{AB}$．

如图， $\mathit{AB}$是长为 $10m$，倾斜角为 $37°$的自动扶梯，平台 $\mathit{BD}$与大楼 $\mathit{CE}$垂直，且与扶梯 $\mathit{AB}$的长度相等，在 $B$处测得大楼顶部 $C$的仰角为 $65°$，求大楼 $\mathit{CE}$的高度（结果保留整数）．

（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4}$， $\sin 65°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 65°\approx \frac{15}{7})$

如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 $\mathit{AB}$ ．无人机从点 $A$ 的正上方点 $C$ ，沿正东方向以 $8m/s$ 的速度飞行 $15s$ 到达点 $D$ ，测得 $A$ 的俯角为 $60°$ ，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 $50s$ 到达点 $E$ ，测得点 $B$ 的俯角为 $37°$ ．

（1）求无人机的高度 $\mathit{AC}$ （结果保留根号）；

（2）求 $\mathit{AB}$ 的长度（结果精确到 $1m)$ ．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

某体育场看台的坡面 $\mathit{AB}$与地面的夹角是 $37°$，看台最高点 $B$到地面的垂直距离 $\mathit{BC}$为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆 $\mathit{DE}$，在 $B$点用测角仪测得旗杆的最高点 $E$的仰角为 $33°$，已知测角仪 $\mathit{BF}$的高度为1.6米，看台最低点 $A$与旗杆底端 $D$之间的距离为16米（ $C$， $A$， $D$在同一条直线上）．

（1）求看台最低点 $A$到最高点 $B$的坡面距离；

（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩 $G$、 $H$之间的距离为1.2米，下端挂钩 $H$与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数） $(\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\tan 37°\approx 0.75$， $\sin 33°\approx 0.54$， $\cos 33°\approx 0.84$， $\tan 33°\approx 0.65)$

荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 $A$处测得塔顶的仰角为 $30°$，再向古塔方向行进 $a$米后到达 $B$处，在 $B$处测得塔顶的仰角为 $45°$（如图所示），那么 $a$的值约为　    　米 $(\sqrt{3}\approx 1.73$，结果精确到 $0.1)$．

如图，楼顶上有一个广告牌 $\mathit{AB}$ ，从与楼 $\mathit{BC}$ 相距 $15m$ 的 $D$ 处观测广告牌顶部 $A$ 的仰角为 $37°$ ，观测广告牌底部 $B$ 的仰角为 $30°$ ，求广告牌 $\mathit{AB}$ 的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75°$ ，测得小区楼房 $\mathit{BC}$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45°$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $\mathit{BC}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\mathit{BC}$ 的高度为 $15\sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\mathit{AB}$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75°=2+\sqrt{3}$ ， $\tan 15°=2-\sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPA}$ 为 $30°$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPB}$ 为 $45°$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1m/s$ ，取 $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{2}=1.414)$

如图，为测量建筑物 $\mathit{CD}$的高度，在 $A$点测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $22°$，再向建筑物 $\mathit{CD}$前进30米到达 $B$点，测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $58°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60)$

小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 $M$处出发，向前走3米到达 $A$处，测得树顶端 $E$的仰角为 $30°$，他又继续走下台阶到达 $C$处，测得树的顶端 $E$的仰角是 $60°$，再继续向前走到大树底 $D$处，测得食堂楼顶 $N$的仰角为 $45°$．已知点离地面的高度 $\mathit{AB}=2$米， $\angle \mathit{BCA}=30°$，且 $B$、 $C$、 $D$三点在同一直线上．

（1）求树 $\mathit{DE}$的高度；

（2）求食堂 $\mathit{MN}$的高度．