初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题试题

如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 $\mathit{AB}$ ．无人机从点 $A$ 的正上方点 $C$ ，沿正东方向以 $8m/s$ 的速度飞行 $15s$ 到达点 $D$ ，测得 $A$ 的俯角为 $60°$ ，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 $50s$ 到达点 $E$ ，测得点 $B$ 的俯角为 $37°$ ．

（1）求无人机的高度 $\mathit{AC}$ （结果保留根号）；

（2）求 $\mathit{AB}$ 的长度（结果精确到 $1m)$ ．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 $A$处测得塔顶的仰角为 $30°$，再向古塔方向行进 $a$米后到达 $B$处，在 $B$处测得塔顶的仰角为 $45°$（如图所示），那么 $a$的值约为　    　米 $(\sqrt{3}\approx 1.73$，结果精确到 $0.1)$．

如图，无人机在离地面60米的 $C$ 处，观测楼房顶部 $B$ 的俯角为 $30°$ ，观测楼房底部 $A$ 的俯角为 $60°$ ，求楼房的高度．

数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置 $P$与岚光阁阁顶 $A$、湖心亭 $B$在同一铅垂面内， $P$与 $B$的垂直距离为300米， $A$与 $B$的垂直距离为150米，在 $P$处测得 $A$、 $B$两点的俯角分别为 $\alpha$、 $\beta$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\sqrt{2}-1$，试求岚光阁与湖心亭之间的距离 $\mathit{AB}$．（计算结果若含有根号，请保留根号）

如图，为了测量"四川大渡河峡谷"石碑的高度，佳佳在点 $C$ 处测得石碑顶 $A$ 点的仰角为 $30°$ ，她朝石碑前行5米到达点 $D$ 处，又测得石碑顶 $A$ 点的仰角为 $60°$ ，那么石碑的高度 $\mathit{AB}$ 的长 $=$ 　　米．（结果保留根号）

如图，在大楼 $\mathit{AB}$正前方有一斜坡 $\mathit{CD}$，坡角 $\angle \mathit{DCE}=30°$，楼高 $\mathit{AB}=60$米，在斜坡下的点 $C$处测得楼顶 $B$的仰角为 $60°$，在斜坡上的 $D$处测得楼顶 $B$的仰角为 $45°$，其中点 $A$， $C$， $E$在同一直线上．

（1）求坡底 $C$点到大楼距离 $\mathit{AC}$的值；

（2）求斜坡 $\mathit{CD}$的长度．

如图，山顶上有一个信号塔 $\mathit{AC}$，已知信号塔高 $\mathit{AC}=15$米，在山脚下点 $B$处测得塔底 $C$的仰角 $\angle \mathit{CBD}=36.9°$，塔顶 $A$的仰角 $\angle \mathit{ABD}=42.0°$，求山高 $\mathit{CD}$（点 $A$， $C$， $D$在同一条竖直线上）．

（参考数据： $\tan 36.9°\approx 0.75$， $\sin 36.9°\approx 0.60$， $\tan 42.0°\approx 0.90$． $)$

风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在 $A$处测得塔杆顶端 $C$的仰角是 $55°$，沿 $\mathit{HA}$方向水平前进43米到达山底 $G$处，在山顶 $B$处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 $D(D$、 $C$、 $H$在同一直线上）的仰角是 $45°$．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高 $\mathit{BG}$为10米， $\mathit{BG}\perp \mathit{HG}$， $\mathit{CH}\perp \mathit{AH}$，求塔杆 $\mathit{CH}$的高．（参考数据： $\tan 55°\approx 1.4$， $\tan 35°\approx 0.7$， $\sin 55°\approx 0.8$， $\sin 35°\approx 0.6)$

张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30°$ ， $60°$ ，测得 $\mathit{BC}$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $\mathit{BC}$ 的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 $\mathit{MP}$上架设测角仪，先在点 $M$处测得观星台最高点 $A$的仰角为 $22°$，然后沿 $\mathit{MP}$方向前进 $16m$到达点 $N$处，测得点 $A$的仰角为 $45°$．测角仪的高度为 $1.6m$．

（1）求观星台最高点 $A$距离地面的高度（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sqrt{2}\approx 1.41)$；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6m$．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．

如图，楼顶上有一个广告牌 $\mathit{AB}$ ，从与楼 $\mathit{BC}$ 相距 $15m$ 的 $D$ 处观测广告牌顶部 $A$ 的仰角为 $37°$ ，观测广告牌底部 $B$ 的仰角为 $30°$ ，求广告牌 $\mathit{AB}$ 的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75°$ ，测得小区楼房 $\mathit{BC}$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45°$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $\mathit{BC}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\mathit{BC}$ 的高度为 $15\sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\mathit{AB}$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75°=2+\sqrt{3}$ ， $\tan 15°=2-\sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPA}$ 为 $30°$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPB}$ 为 $45°$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1m/s$ ，取 $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{2}=1.414)$

如图，为测量建筑物 $\mathit{CD}$的高度，在 $A$点测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $22°$，再向建筑物 $\mathit{CD}$前进30米到达 $B$点，测得建筑物顶部 $D$点的仰角为 $58°(A$， $B$， $C$三点在一条直线上），求建筑物 $\mathit{CD}$的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60)$