初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题试题

如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角 $\angle \mathit{ADE}为55°$，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（　　）

A． $\mathit{tan}55°=\frac{6}{x-1}$B． $\mathit{tan}55°=\frac{x-1}{6}$

C． $\sin 55°=\frac{x-1}{6}$D． $\cos 55°=\frac{x-1}{6}$

数学兴趣小组根据无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为 $30°$ ，则旗杆的高度约为 　　       

米．

（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为 $45°$，底部的俯角为 $38°$；又用绳子测得测角仪距地面的高度 $\mathit{AB}$为 $31.6m$．求该大楼的高度（结果精确到 $0.1m)$．

（参考数据： $\sin 38°\approx 0.62$， $\cos 38°\approx 0.79$， $\tan 38°\approx 0.78)$

在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 $B$ 处测得办公楼底部 $D$ 处的俯角是 $53°$ ，从综合楼底部 $A$ 处测得办公楼顶部 $C$ 处的仰角恰好是 $30°$ ，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据 $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\tan 53°\approx 1.33$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，小明在距离地面30米的 $P$处测得 $A$处的俯角为 $15°$， $B$处的俯角为 $60°$．若斜面坡度为 $1:\sqrt{3}$，则斜坡 $\mathit{AB}$的长是　 　米．

如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道 $\mathit{AB}$ ．无人机从点 $A$ 的正上方点 $C$ ，沿正东方向以 $8m/s$ 的速度飞行 $15s$ 到达点 $D$ ，测得 $A$ 的俯角为 $60°$ ，然后以同样的速度沿正东方向又飞行 $50s$ 到达点 $E$ ，测得点 $B$ 的俯角为 $37°$ ．

（1）求无人机的高度 $\mathit{AC}$ （结果保留根号）；

（2）求 $\mathit{AB}$ 的长度（结果精确到 $1m)$ ．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，无人机在离地面60米的 $C$ 处，观测楼房顶部 $B$ 的俯角为 $30°$ ，观测楼房底部 $A$ 的俯角为 $60°$ ，求楼房的高度．

如图，为了测量"四川大渡河峡谷"石碑的高度，佳佳在点 $C$ 处测得石碑顶 $A$ 点的仰角为 $30°$ ，她朝石碑前行5米到达点 $D$ 处，又测得石碑顶 $A$ 点的仰角为 $60°$ ，那么石碑的高度 $\mathit{AB}$ 的长 $=$ 　　米．（结果保留根号）

如图，山顶上有一个信号塔 $\mathit{AC}$，已知信号塔高 $\mathit{AC}=15$米，在山脚下点 $B$处测得塔底 $C$的仰角 $\angle \mathit{CBD}=36.9°$，塔顶 $A$的仰角 $\angle \mathit{ABD}=42.0°$，求山高 $\mathit{CD}$（点 $A$， $C$， $D$在同一条竖直线上）．

（参考数据： $\tan 36.9°\approx 0.75$， $\sin 36.9°\approx 0.60$， $\tan 42.0°\approx 0.90$． $)$

张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30°$ ， $60°$ ，测得 $\mathit{BC}$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $\mathit{BC}$ 的距离．（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，楼顶上有一个广告牌 $\mathit{AB}$ ，从与楼 $\mathit{BC}$ 相距 $15m$ 的 $D$ 处观测广告牌顶部 $A$ 的仰角为 $37°$ ，观测广告牌底部 $B$ 的仰角为 $30°$ ，求广告牌 $\mathit{AB}$ 的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75°$ ，测得小区楼房 $\mathit{BC}$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45°$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $\mathit{BC}$ 之间的距离为45米，小区楼房 $\mathit{BC}$ 的高度为 $15\sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $\mathit{AB}$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75°=2+\sqrt{3}$ ， $\tan 15°=2-\sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点 $A$ 处时，在 $P$ 处测得 $A$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPA}$ 为 $30°$ 且 $A$ 与 $P$ 两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达 $B$ 处，此时在 $P$ 处测得 $B$ 点的仰角 $\angle \mathit{DPB}$ 为 $45°$ ，求天舟二号从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到 $1m/s$ ，取 $\sqrt{3}=1.732$ ， $\sqrt{2}=1.414)$

位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道 $\mathit{MP}$上架设测角仪，先在点 $M$处测得观星台最高点 $A$的仰角为 $22°$，然后沿 $\mathit{MP}$方向前进 $16m$到达点 $N$处，测得点 $A$的仰角为 $45°$．测角仪的高度为 $1.6m$．

（1）求观星台最高点 $A$距离地面的高度（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40$， $\sqrt{2}\approx 1.41)$；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6m$．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．