如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC15米，在山脚

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，山顶上有一个信号塔 $AC$ ，已知信号塔高 $AC = 15$ 米，在山脚下点 $B$ 处测得塔底 $C$ 的仰角 $∠ CBD = 36.9 °$ ，塔顶 $A$ 的仰角 $∠ ABD = 42.0 °$ ，求山高 $CD$ （点 $A$ ， $C$ ， $D$ 在同一条竖直线上）．

（参考数据： $\tan 36.9 ° \approx 0.75$ ， $\sin 36.9 ° \approx 0.60$ ， $\tan 42.0 ° \approx 0.90$ ． $)$

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如图，在菱形 $ABCD$ 中，过 $B$ 作 $BE ⊥ AD$ 于 $E$ ，过 $B$ 作 $BF ⊥ CD$ 于 $F$ ．

求证： $AE = CF$ ．

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（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$ 上找一点 $M$ ，使 $| MB - MD |$ 的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$ 为 $y$ 轴右侧抛物线上一动点，连接 $PA$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ PA$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，问：是否存在点 $P$ ，使得以 $A$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）求证： $∠ PCA = ∠ ABC$ ．

（2）过点 $A$ 作 $AE / / PC$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ ，若 $\cos ∠ P = \frac{4}{5}$ ， $CF = 10$ ，求 $BE$ 的长．

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（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个一边长为 $2 \sqrt{2}$ ，面积为6的等腰三角形．

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据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点 $C$ 到公路的距离 $CD = 200 m$ ，检测路段的起点 $A$ 位于点 $C$ 的南偏东 $60 °$ 方向上，终点 $B$ 位于点 $C$ 的南偏东 $45 °$ 方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由 $A$ 处行驶到 $B$ 处的时间为 $10 s$ ．问此车是否超过了该路段 $16 m / s$ 的限制速度？（观测点 $C$ 离地面的距离忽略不计，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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