数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置 $P$与岚光阁阁顶 $A$、湖心亭 $B$在同一铅垂面内， $P$与 $B$的垂直距离为300米， $A$与 $B$的垂直距离为150米，在 $P$处测得 $A$、 $B$两点的俯角分别为 $\alpha$、 $\beta$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\sqrt{2}-1$，试求岚光阁与湖心亭之间的距离 $\mathit{AB}$．（计算结果若含有根号，请保留根号）