关于三角函数有如下公式：sin(αβ)sinαcosβcos

关于三角函数有如下公式： $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$ ， $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ ， $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} (1 - \tan α \tan β \neq 0)$

$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} (1 + \tan α \tan β \neq 0)$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

如： $\tan 105 ° = \tan (45 ° + 60 °) = \frac{\tan 45 ° + \tan 60 °}{1 - \tan 45 ° \tan 60 °} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = - 2 - \sqrt{3}$

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：

如图，两座建筑物 $AB$ 和 $DC$ 的水平距离 $BC$ 为24米，从点 $A$ 测得点 $D$ 的俯角 $α = 15 °$ ，测得点 $C$ 的俯角 $β = 75 °$ ，求建筑物 $CD$ 的高度．

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如图，已知 $AB / / CD$ ，分别探究下列四个图形（图（1），图（2），图（3），图（4））中 $∠ APC$ 和 $∠ PAB, ∠ PCD$ 的数量关系，用等式表示出来，并说明理由．

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已知 $m, n$ 是有理数，且 $(\sqrt{5} + 2) m + (3 - 2 \sqrt{5}) n + 7 = 0$ ，求 $m, n$ 的值．

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如图，已知 $AB / / CD, ∠ EAF = \frac{1}{4} ∠ EAB, ∠ ECF = \frac{1}{4} ∠ ECD$ ，求证: $∠ AFC = \frac{3}{4} ∠ AEC$

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如图①折线 $APB$ 是夹在两平行线 $a$ 和 $b$ 之间的一条折线．

（1）探求 $∠ APB$ 与 $∠ α, ∠ β$ 之间的关系；

（2）若图①变化成图②，③，④，⑤，则各图中标注的角（ $∠ α, ∠ β, ∠ γ, ∠ x, ∠ y$ ）又有什么关系?请直接写出结论；

（3）如图⑥中，若 $A A_{1} / / B A_{n}, ∠ A_{1}, ∠ A_{2}, ∠ A_{3}, \dots, ∠ A_{n}$ 与 $∠ B_{1}, ∠ B_{2}, ∠ B_{3}, \dots, ∠ B_{n - 1}$ 之间有什么关系?请直接写出结论．

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