初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ， $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线．

（2）已知 $\mathit{BD}=3\sqrt{5}$ ， $\mathit{CD}=5$ ，求 $O$ ， $E$ 两点之间的距离．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ．

（1）若 $D$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，证明： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CA}=6$ ， $\mathit{CE}=3.6$ ，求 $\odot O$ 的半径 $\mathit{OA}$ 的长．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，求 $\mathit{\Delta OBC}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OA}}$ 、 $\frac{S_{\mathit{\Delta OBC}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BE}$ 交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，求 $\mathit{EM}$ 的长度；

②若 $S_{\mathit{\Delta CME}}=1$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(3,4)$ ．

（1）求过点 $B$ 的反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）连接 $\mathit{OB}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{OB}$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，求直线 $\mathit{BD}$ 的解析式．

如图，在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 为直径，点 $C$ 为圆上一点，延长 $\mathit{AB}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，且 $\angle D=30°$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线．

（2）分别过 $A$ 、 $B$ 两点作直线 $\mathit{CD}$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ 两点，过 $C$ 点作 $\mathit{AB}$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．求证： $C{G}^2=\mathit{AE}·\mathit{BF}$ ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 和点 $D$ 的圆，圆心 $O$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上， $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $\mathit{BC}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{AE}=10$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图1，在等腰直角三角形 $\mathit{ADC}$ 中， $\angle \mathit{ADC}=90°$ ， $\mathit{AD}=4$ ．点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，以 $\mathit{DE}$ 为边作正方形 $\mathit{DEFG}$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{CE}$ ．将正方形 $\mathit{DEFG}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$ ．

（1）如图2，在旋转过程中，

①判断 $\mathit{\Delta AGD}$ 与 $\mathit{\Delta CED}$ 是否全等，并说明理由；

②当 $\mathit{CE}=\mathit{CD}$ 时， $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于点 $H$ ，求 $\mathit{GH}$ 的长．

（2）如图3，延长 $\mathit{CE}$ 交直线 $\mathit{AG}$ 于点 $P$ ．

①求证： $\mathit{AG}\perp \mathit{CP}$ ；

②在旋转过程中，线段 $\mathit{PC}$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $C$ 是 $\odot O$ 上的一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上的一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ 于 $D$ ， $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于 $F$ ，且 $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，圆的半径 $\mathit{OB}=5$ ，求切线 $\mathit{EC}$ 的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线与 $\odot O$ 交于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长与 $\odot O$ 过点 $A$ 的切线交于点 $F$ ，记 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =60°$ ，

①直接写出 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}$ 的值为 　　；

②当 $\odot O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 　　；

（2）如图2，若 $\alpha <60°$ ，且 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{DE}=4$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长．

实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $\mathit{CD}$ 上的点 $A^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{DE}$ ，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 上的点 $C\text{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{EF}$ ， $B^{\text{'}}C\text{'}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $C\text{'}F$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形 $\mathit{AE}{A}^{\text{'}}D$ 的形状是 　 　；

（2）如图2，线段 $\mathit{MC}\text{'}$ 与 $\mathit{ME}$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若 $\mathit{AC}\text{'}=2\mathit{cm}$ ， $D{C}^{\text{'}}=4\mathit{cm}$ ，求 $\mathit{DN}:\mathit{EN}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的直线 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{BDE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）当 $\mathit{CF}=2$ ， $\mathit{BE}=3$ 时，求 $\mathit{AF}$ 的长．

问题背景 如图（1），已知 $\mathit{\Delta ABC}\backsim \mathit{\Delta ADE}$ ，求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta ACE}$ ；

尝试应用 如图（2），在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ADE}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=30°$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DE}$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BD}}=\sqrt{3}$ ，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$ 的值；

拓展创新 如图（3）， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内一点， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBD}=30°$ ， $\angle \mathit{BDC}=90°$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$ ，直接写出 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{AE}$ 与过点 $D$ 的切线互相垂直，垂足为 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAE}$ ；

（2）若 $\mathit{CD}=\mathit{DE}$ ，求 $\sin \angle \mathit{BAC}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 为半圆 $O$ 的直径， $C$ 为半圆 $O$ 上一点， $\mathit{AD}$ 与过点 $C$ 的切线垂直，垂足为 $D$ ， $\mathit{AD}$ 交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{DAB}$ ；

（2）若 $\mathit{AE}=2\mathit{DE}$ ，试判断以 $O$ ， $A$ ， $E$ ， $C$ 为顶点的四边形的形状，并说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．