如图1，在等腰直角三角形 中， ， ．点 是 的中点，以 为边作正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点 顺时针旋转，旋转角为 ．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断 与 是否全等，并说明理由；
②当 时， 与 交于点 ，求 的长．
（2）如图3，延长 交直线 于点 ．
①求证： ；
②在旋转过程中，线段 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
某校九年级（1）班 名学生参加 跳绳体育考试. 跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表（ 表示为大于等于 并且小于 ）和扇形统计图，（如图）.
（1）求 的值；
（2）求该班 跳绳成绩在 分以上（含 分）的人数占全班人数的百分比；
（3）根据频数分布表估计该班学生 跳绳的平均分大约是多少?并说明理由.
为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树的价格之比为 ，丙种树每棵 元，现计划用 元资金，购买这三种树共 棵.
（1）求甲、乙两种树每棵各多少元?
（2）若购买甲种树的棵数是乙种树的 倍，恰好用完计划资金，则这三种树各能购买多少棵?
（3）若又增加了 元的购树款，在购买总棵数不变的前提下，求丙种树最多可购买多少棵?
探究：（1）如图①若 .则 .你能说明为什么吗?
（2）反之，若 ，直线 和 有什么位置关系，请证明；
（3）若将点 移至图②所示位置，此时 之间有什么关系?请证明；
（4）若将点 移至图③所示位置，情况又如何?
（5）在图④中， 与 又有何关系?
（6）在图⑤中，若 ，又得到什么结论?
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