初中数学相似三角形的判定与性质解答题

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DG}$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $\mathit{AEFG}$ 和菱形 $\mathit{ABCD}$ ，将菱形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $\angle \mathit{EAG}$ 与 $\angle \mathit{BAD}$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $\mathit{AEFG}$ 和矩形 $\mathit{ABCD}$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AG}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AB}=8$ ，将矩形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{BG}$ ．小组发现：在旋转过程中， $D{E}^2+B{G}^2$ 的值是定值，请求出这个定值．

已知：在矩形中，，分别是边，上的点，过点作的垂线交于点，以为直径作半圆．

（1）填空：点　　（填“在”或“不在” 上；当时，的值是　　；

（2）如图1，在中，当时，求证：；

（3）如图2，当的顶点是边的中点时，求证：；

（4）如图3，点在线段的延长线上，若，连接交于点，连接，当时，，，求的值．

如图，点是线段上一点，，以点为圆心，的长为半径作，过点作的垂线交于，两点，点在线段的延长线上，连接交于点，以，为边作．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求四边形与重叠部分的面积；

（3）若，，连接，求和的长．

如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长、相交于点，的平分线交于点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．

①求证：；

②推断：的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点，，在上，的平分线交于点，连接，．

求证：四边形是等补四边形；

探究：

（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．

运用：

（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．

已知内接于，的平分线交于点，连接，．

（1）如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式：　　；

（2）如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若，，求的值．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动．设运动的时间为秒，．

（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：　　；

（2）当时，求的值；

（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由．

已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积．

如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求弦的长．

如图，在中，是直径，是弦，，连接交于点，．

（1）求证：是的切线．

（2）过点作于，交于，已知，，求的长．

如图，已知，，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点．

（1）求和的值；

（2）过点作轴，与双曲线交于点．求的面积．

如图， $\mathit{PA}$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$ ， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径，连接 $\mathit{OP}$ 交 $\odot O$ 于 $E$ ．过 $A$ 点作 $\mathit{AB}\perp \mathit{PO}$ 于点 $D$ ，交 $\odot O$ 于 $B$ ，连接 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PB}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $E$ 为 $\mathit{\Delta PAB}$ 的内心；

（3）若 $\cos \angle \mathit{PAB}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $\mathit{PO}$ 的长．

四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的圆内接四边形，线段 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，连结 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ ．点 $H$ 是线段 $\mathit{BD}$ 上的一点，连结 $\mathit{AH}$ 、 $\mathit{CH}$ ，且 $\angle \mathit{ACH}=\angle \mathit{CBD}$ ， $\mathit{AD}=\mathit{CH}$ ， $\mathit{BA}$ 的延长线与 $\mathit{CD}$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADCH}$ 是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{PB}=\sqrt{5}\mathit{PD}$ ， $\mathit{AB}+\mathit{CD}=2(\sqrt{5}+1)$

①求证： $\mathit{\Delta DHC}$ 为等腰直角三角形；

②求 $\mathit{CH}$ 的长度．