已知：在矩形$\mathit{ABCD}$中，$E$，$F$分别是边$\mathit{AB}$，$\mathit{AD}$上的点，过点$F$作$\mathit{EF}$的垂线交$\mathit{DC}$于点$H$，以$\mathit{EF}$为直径作半圆$O$．

（1）填空：点$A$　　（填“在”或“不在” $)\odot O$上；当$\widehat{\mathit{AE}}=\widehat{\mathit{AF}}$时，$\tan \angle \mathit{AEF}$的值是　　；

（2）如图1，在$\mathit{\Delta EFH}$中，当$\mathit{FE}=\mathit{FH}$时，求证：$\mathit{AD}=\mathit{AE}+\mathit{DH}$；

（3）如图2，当$\mathit{\Delta EFH}$的顶点$F$是边$\mathit{AD}$的中点时，求证：$\mathit{EH}=\mathit{AE}+\mathit{DH}$；

（4）如图3，点$M$在线段$\mathit{FH}$的延长线上，若$\mathit{FM}=\mathit{FE}$，连接$\mathit{EM}$交$\mathit{DC}$于点$N$，连接$\mathit{FN}$，当$\mathit{AE}=\mathit{AD}$时，$\mathit{FN}=4$，$\mathit{HN}=3$，求$\tan \angle \mathit{AEF}$的值．