（1）证明推断：如图（1），在正方形$\mathit{ABCD}$中，点$E$，$Q$分别在边$\mathit{BC}$，$\mathit{AB}$上，$\mathit{DQ}\perp \mathit{AE}$于点$O$，点$G$，$F$分别在边$\mathit{CD}$，$\mathit{AB}$上，$\mathit{GF}\perp \mathit{AE}$．

①求证：$\mathit{DQ}=\mathit{AE}$；

②推断：$\frac{\mathit{GF}}{\mathit{AE}}$的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=k(k$为常数）．将矩形$\mathit{ABCD}$沿$\mathit{GF}$折叠，使点$A$落在$\mathit{BC}$边上的点$E$处，得到四边形$\mathit{FEPG}$，$\mathit{EP}$交$\mathit{CD}$于点$H$，连接$\mathit{AE}$交$\mathit{GF}$于点$O$．试探究$\mathit{GF}$与$\mathit{AE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接$\mathit{CP}$，当$k=\frac{2}{3}$时，若$\tan \angle \mathit{CGP}=\frac{3}{4}$，$\mathit{GF}=2\sqrt{10}$，求$\mathit{CP}$的长．