初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AH}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{FAH}$，交 $\odot O$于点 $E$，过点 $E$的直线 $\mathit{FG}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $F$， $B$为半径 $\mathit{OH}$上一点， 点 $E$、 $F$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$和 $\mathit{CD}$上 ．

（1） 求证： 直线 $\mathit{FG}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{BE}=6$，求 $\frac{\mathit{FC}}{\mathit{AD}}$的值 ．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$是直径， $D$是 $\mathit{AC}$中点，直线 $\mathit{OD}$与 $\odot O$相交于 $E$， $F$两点， $P$是 $\odot O$外一点， $P$在直线 $\mathit{OD}$上，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$， $\mathit{AF}$，且满足 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）证明： $E{F}^2=4\mathit{OD}·\mathit{OP}$；

（3）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{AFP}=\frac{2}{3}$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $D$、 $E$分别是斜边 $\mathit{AB}$、直角边 $\mathit{BC}$上的点，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿着直线 $\mathit{DE}$折叠．

（1）如图1，当折叠后点 $B$和点 $A$重合时，用直尺和圆规作出直线 $\mathit{DE}$；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）如图2，当折叠后点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上点 $P$处，且四边形 $\mathit{PEBD}$是菱形时，求折痕 $\mathit{DE}$的长．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $E$为线段 $\mathit{OB}$上一点（不与 $O$， $B$重合），作 $\mathit{EC}\perp \mathit{OB}$，交 $\odot O$于点 $C$，作直径 $\mathit{CD}$，过点 $C$的切线交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $P$，作 $\mathit{AF}\perp \mathit{PC}$于点 $F$，连接 $\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{FAB}$；

（2）求证： $B{C}^2=\mathit{CE}\cdot \mathit{CP}$；

（3）当 $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$且 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CP}}=\frac{3}{4}$时，求劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$，且 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta BCA}$；

（2）若 $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{AB}=4$，求弦 $\mathit{AC}$的长；

（3）在（2）的条件下，延长 $\mathit{AB}$至点 $P$，使 $\mathit{BP}=2$，连接 $\mathit{PC}$．求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为 $\odot O$的内接三角形， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，过点 $A$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DAC}\backsim \mathit{\Delta DBA}$；

（2）过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，求证： $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$；

（3）若点 $F$为直径 $\mathit{AB}$下方半圆的中点，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，且 $\mathit{AD}=6$， $\mathit{AB}=3$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的弦，过 $\mathit{AB}$的中点 $E$作 $\mathit{EC}\perp \mathit{OA}$，垂足为 $C$，过点 $B$作直线 $\mathit{BD}$交 $\mathit{CE}$的延长线于点 $D$，使得 $\mathit{DB}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{DB}=5$，求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{CBG}=\angle A$， $\mathit{CD}$为直径， $\mathit{OC}$与 $\mathit{AB}$相交于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，延长 $\mathit{CD}$交 $\mathit{GB}$的延长线于点 $P$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{PG}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AC}}=\frac{5}{8}$，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{OC}}$的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\odot O$的半径为8， $\mathit{PD}=\mathit{OD}$，求 $\mathit{OE}$的长．

已知 $\mathit{AD}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{BC}$为 $\odot O$的切线，切点为 $M$，分别过 $A$， $D$两点作 $\mathit{BC}$的垂线，垂足分别为 $B$， $C$， $\mathit{AD}$的延长线与 $\mathit{BC}$相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}\backsim \mathit{\Delta MCD}$；

（2）若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{AB}=5$，求 $\mathit{ME}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 在 $\mathit{AD}$ 边上运动，且不与点 $A$ 和点 $D$ 重合，连接 $\mathit{CE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}\perp \mathit{CE}$ 交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ， $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ；

（2）当 $\mathit{DE}=\frac{1}{2}$ 时，求 $\mathit{CG}$ 的长；

（3）连接 $\mathit{AG}$ ，在点 $E$ 运动过程中，四边形 $\mathit{CEAG}$ 能否为平行四边形？若能，求出此时 $\mathit{DE}$ 的长；若不能，说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $O$ 是 $\mathit{AB}$ 边上的一点，以 $\mathit{OA}$ 为半径的 $\odot O$ 与边 $\mathit{BC}$ 相切于点 $E$ ．

（1）若 $\mathit{AC}=5$ ， $\mathit{BC}=13$ ，求 $\odot O$ 的半径；

（2）过点 $E$ 作弦 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ 于 $M$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，若 $\angle F=2\angle B$ ，求证：四边形 $\mathit{ACEF}$ 是菱形．

如图所示， $\odot O$的半径为4，点 $A$是 $\odot O$上一点，直线 $l$过点 $A$； $P$是 $\odot O$上的一个动点（不与点 $A$重合），过点 $P$作 $\mathit{PB}\perp l$于点 $B$，交 $\odot O$于点 $E$，直径 $\mathit{PD}$延长线交直线 $l$于点 $F$，点 $A$是 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$的中点．

（1）求证：直线 $l$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{PA}=6$，求 $\mathit{PB}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，作 $\mathit{ED}\perp \mathit{EB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta BED}$的外接圆．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）已知 $\odot O$的半径为2.5， $\mathit{BE}=4$，求 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$的长．