初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数， $k\ne 0)$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，且与反比例函数 $y=\frac{n}{x}(n$为常数，且 $n\ne 0)$的图象在第二象限交于点 $C$． $\mathit{CD}\perp x$轴，垂足为 $D$，若 $\mathit{OB}=2\mathit{OA}=3\mathit{OD}=12$．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为 $E$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积；

（3）直接写出不等式 $\mathit{kx}+b⩽\frac{n}{x}$的解集．

如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$， $\mathit{CD}$的垂直平分线交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DH}=4$， $\mathit{BF}:\mathit{FA}=1:5$．

（1）如图2，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$于点 $G$，交 $\mathit{DH}$于点 $M$，将 $\mathit{\Delta DGM}$沿 $\mathit{DC}$方向平移，得到△ $\mathit{CG}\text{'}M\text{'}$，连接 $M\text{'}B$．

①求四边形 $\mathit{BHMM}\text{'}$的面积；

②直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $N$，求 $\mathit{\Delta DNM}$周长的最小值．

（2）如图3，延长 $\mathit{CB}$交 $\mathit{EF}$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{QK}//\mathit{AB}$，过 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$作 $\mathit{PK}//\mathit{EF}$，并与 $\mathit{QK}$交于点 $K$，将 $\mathit{\Delta PKQ}$沿直线 $\mathit{PQ}$翻折，使点 $K$的对应点 $K\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AB}$上，求线段 $\mathit{CP}$的长．

如图1，在四边形 $\mathit{BCDE}$中， $\mathit{BC}\perp \mathit{CD}$， $\mathit{DE}\perp \mathit{CD}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{AE}$，垂足分别为 $C$， $D$， $A$， $\mathit{BC}\ne \mathit{AC}$，点 $M$， $N$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{BE}$的中点，连接 $\mathit{MN}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{NF}$．

（1）如图2，当 $\mathit{BC}=4$， $\mathit{DE}=5$， $\tan \angle \mathit{FMN}=1$时，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{AD}}$的值；

（2）若 $\tan \angle \mathit{FMN}=\frac{1}{2}$， $\mathit{BC}=4$，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

（3）连接 $\mathit{CM}$， $\mathit{DN}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{DF}$．试证明 $\mathit{\Delta FMC}$与 $\mathit{\Delta DNF}$全等；

（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．

如图，以 $\mathit{AB}$边为直径的 $\odot O$经过点 $P$， $C$是 $\odot O$上一点，连接 $\mathit{PC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，且 $\angle \mathit{ACP}=60°$， $\mathit{PA}=\mathit{PD}$．

（1）试判断 $\mathit{PD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若点 $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，已知 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{CE}\cdot \mathit{CP}$的值．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AB}$为直径，点 $P$为 $\odot O$外一点，且 $\mathit{PA}=\mathit{PC}=\sqrt{2}\mathit{AB}$，连接 $\mathit{PO}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，延长 $\mathit{PO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）证明： $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=2\sqrt{2}$，证明： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $\mathit{PB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$是圆上异于 $A$、 $B$的一点，连结 $\mathit{BC}$并延长至点 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{BC}$，连结 $\mathit{AD}$交 $\odot O$于点 $E$，连结 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}$是等腰三角形；

（2）连结 $\mathit{OC}$并延长，与以 $B$为切点的切线交于点 $F$，若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{CF}=1$，求 $\mathit{DE}$的长．

正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $O$是 $\mathit{BC}$边上的一个动点（与 $B$， $C$不重合），以 $O$为顶点在 $\mathit{BC}$所在直线的上方作 $\angle \mathit{MON}=90°$．

（1）当 $\mathit{OM}$经过点 $A$时，

①请直接填空： $\mathit{ON}$　    　（可能，不可能）过 $D$点；（图1仅供分析）

②如图2，在 $\mathit{ON}$上截取 $\mathit{OE}=\mathit{OA}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}$垂直于直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp \mathit{CD}$于 $H$，求证：四边形 $\mathit{EFCH}$为正方形．

（2）当 $\mathit{OM}$不过点 $A$时，设 $\mathit{OM}$交边 $\mathit{AB}$于 $G$，且 $\mathit{OG}=1$．在 $\mathit{ON}$上存在点 $P$，过 $P$点作 $\mathit{PK}$垂直于直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $K$，使得 $S_{\mathit{\Delta PKO}}=4S_{\mathit{\Delta OBG}}$，连接 $\mathit{GP}$，求四边形 $\mathit{PKBG}$的最大面积．

如图，已知边长为10的正方形 $\mathit{ABCD}$， $E$是 $\mathit{BC}$边上一动点（与 $B$、 $C$不重合），连结 $\mathit{AE}$， $G$是 $\mathit{BC}$延长线上的点，过点 $E$作 $\mathit{AE}$的垂线交 $\angle \mathit{DCG}$的角平分线于点 $F$，若 $\mathit{FG}\perp \mathit{BG}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta EGF}$；

（2）若 $\mathit{EC}=2$，求 $\mathit{\Delta CEF}$的面积；

（3）请直接写出 $\mathit{EC}$为何值时， $\mathit{\Delta CEF}$的面积最大．

如图， $\angle \mathit{AOB}=90°$，反比例函数 $y=-\frac{2}{x}(x<0)$的图象过点 $A(-1,a)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象过点 $B$，且 $\mathit{AB}//x$轴．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）过点 $B$作 $\mathit{MN}//\mathit{OA}$，交 $x$轴于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于另一点 $C$，求 $\mathit{\Delta OBC}$的面积．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k<0)$的图象在第二象限交于 $A(-3,m)$， $B(n,2)$两点．

（1）当 $m=1$时，求一次函数的解析式；

（2）若点 $E$在 $x$轴上，满足 $\angle \mathit{AEB}=90°$，且 $\mathit{AE}=2-m$，求反比例函数的解析式．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta CDE}$都是等边三角形，点 $B$、 $C$、 $E$三点在同一直线上，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $A{D}^2=\mathit{DF}·\mathit{DB}$，求证： $\mathit{AD}=\mathit{BF}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{BE}=6$．

①求 $\tan \angle \mathit{DBE}$的值；②求 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $D$在 $\odot O$上， $\mathit{AD}$的延长线与过点 $B$的切线交于点 $C$， $E$为线段 $\mathit{AD}$上的点，过点 $E$的弦 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $H$．

（1）求证： $\angle C=\angle \mathit{AGD}$；

（2）已知 $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=4$，且 $\mathit{CE}=2\mathit{AE}$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图，点 $A(2,n)$和点 $D$是反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$图象上的两点，一次函数 $y=\mathit{kx}+3(k\ne 0)$的图象经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 $x$轴交于点 $C$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OD}$．已知 $\mathit{\Delta OAB}$与 $\mathit{\Delta ODE}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta OAB}}:S_{\mathit{\Delta ODE}}=3:4$．

（1） $S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　    　， $m=$　    　；

（2）已知点 $P(6,0)$在线段 $\mathit{OE}$上，当 $\angle \mathit{PDE}=\angle \mathit{CBO}$时，求点 $D$的坐标．

如图， $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CB}$上的一点， $\mathit{AF}\perp \mathit{DE}$于点 $F$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CE}=1$．求 $\mathit{DF}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}$和过点 $C$的切线互相垂直，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CAB}$；

（2）若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AC}=2\sqrt{6}$，求 $\mathit{CD}$的长．