如图，ΔABC内接于⊙O，∠CBG∠A，CD为直径，OC与A

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如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ CBG = ∠ A$ ， $CD$ 为直径， $OC$ 与 $AB$ 相交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，延长 $CD$ 交 $GB$ 的延长线于点 $P$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $PG$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）若 $\frac{EF}{AC} = \frac{5}{8}$ ，求 $\frac{BE}{OC}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $⊙ O$ 的半径为8， $PD = OD$ ，求 $OE$ 的长．

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如图①， $ΔABC$ 与 $ΔCDE$ 是等腰直角三角形，直角边 $AC$ 、 $CD$ 在同一条直线上，点 $M$ 、 $N$ 分别是斜边 $AB$ 、 $DE$ 的中点，点 $P$ 为 $AD$ 的中点，连接 $AE$ 、 $BD$ ．

（1）猜想 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的 $ΔCDE$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，得到图②， $AE$ 与 $MP$ 、 $BD$ 分别交于点 $G$ 、 $H$ ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 $BC = kAC$ ， $CD = kCE$ ，如图③，写出 $PM$ 与 $PN$ 的数量关系，并加以证明．

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某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果 $y$ （千克），增种果树 $x$ （棵 $)$ ，它们之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？

（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 $w$ （千克）最大？最大产量是多少？

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某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 $AB$ 的高度．他们在 $C$ 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 $48 °$ ，再往建筑物的方向前进6米到达 $D$ 处，测得仰角为 $64 °$ ，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 48 ° \approx \frac{7}{10}$ ， $\tan 48 ° \approx \frac{11}{10}$ ， $\sin 64 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $\tan 64 ° \approx 2)$

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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $AB$ 的延长线上， $CD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ， $CE ⊥ AD$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BDC = ∠ A$ ；

（2）若 $CE = 4$ ， $DE = 2$ ，求 $AD$ 的长．

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某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？

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