初中数学三角形解答题

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为8，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点（与点 $A$、 $B$不重合）．直线 $l$是经过点 $P$的一条直线，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿直线 $l$折叠，点 $B$的对应点是点 $B\text{'}$．

（1）如图1，当 $\mathit{PB}=4$时，若点 $B\text{'}$恰好在 $\mathit{AC}$边上，则 $\mathit{AB}\text{'}$的长度为　       　；

（2）如图2，当 $\mathit{PB}=5$时，若直线 $l//\mathit{AC}$，则 $\mathit{BB}\text{'}$的长度为　     　；

（3）如图3，点 $P$在 $\mathit{AB}$边上运动过程中，若直线 $l$始终垂直于 $\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta ACB}\text{'}$的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当 $\mathit{PB}=6$时，在直线 $l$变化过程中，求 $\mathit{\Delta ACB}\text{'}$面积的最大值．

△ABC为等边三角形， $\mathit{AB}＝8$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点D，E为线段 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{AE}＝2\sqrt{3}$．以AE为边在直线 $\mathit{AD}$右侧构造等边三角形 $\mathit{AEF}$，连接 $\mathit{CE}$，N为 $\mathit{CE}$的中点．

（1）如图1， $\mathit{EF}与\mathit{AC}$交于点G，连接 $\mathit{NG}$，求线段 $\mathit{NG}$的长；

（2）如图2，将 $△\mathit{AEF}$绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接 $\mathit{DN}$， $\mathit{MN}$．当 $30°＜\alpha ＜120°$时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）连接BN，在 $△\mathit{AEF}$绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出 $△\mathit{ADN}$的面积．

如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的斜边 $\mathit{BC}$ 上的两动点， $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{BC}$ 且 $\mathit{CD}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）求证： $E{F}^2=B{E}^2+C{F}^2$ ；

（3）如图②，作 $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $H$ ，设 $\angle \mathit{EAH}=\alpha$ ， $\angle \mathit{FAH}=\beta$ ，不妨设 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $\alpha +\beta =45°$ 时， $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$ 成立．

发现规律

（1）如图①， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$都是等边三角形，直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{AC}$交于点 $H$．求 $\angle \mathit{BFC}$的度数．

（2）已知： $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$的位置如图②所示，直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．直线 $\mathit{BD}$， $\mathit{AC}$交于点 $H$．若 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=\alpha$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=\beta$，求 $\angle \mathit{BFC}$的度数．

应用结论

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点 $O$的坐标为 $(0,0)$，点 $M$的坐标为 $(3,0)$， $N$为 $y$轴上一动点，连接 $\mathit{MN}$．将线段 $\mathit{MN}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$得到线段 $\mathit{MK}$，连接 $\mathit{NK}$， $\mathit{OK}$．求线段 $\mathit{OK}$长度的最小值．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为1， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上任意一点（端点除外），线段 $\mathit{CE}$ 的垂直平分线交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CE}$ 分别于点 $F$ ， $G$ ， $\mathit{AE}$ ， $\mathit{EF}$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{EF}$ ；

（2）求 $\mathit{MN}+\mathit{NG}$ 的最小值；

（3）当点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上运动时， $\angle \mathit{CEF}$ 的大小是否变化？为什么？

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若弦 $\mathit{MN}$垂直于 $\mathit{AB}$，垂足为 $G$， $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{4}$， $\mathit{MN}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{BAC}=36°$时，求线段 $\mathit{CE}$的长．

已知 $\mathit{\Delta AOB}$ 和 $\mathit{\Delta MON}$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{OA}<\mathit{OM}<\mathit{OA})$ ， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{MON}=90°$ ．

（1）如图1，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{BN}$ ，求证： $\mathit{AM}=\mathit{BN}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta MON}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转．

①如图2，当点 $M$ 恰好在 $\mathit{AB}$ 边上时，求证： $A{M}^2+B{M}^2=2O{M}^2$ ；

②当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 在同一条直线上时，若 $\mathit{OA}=4$ ， $\mathit{OM}=3$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$， $D$是边 $\mathit{BC}$上一点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{AD}$折叠得到 $\mathit{\Delta AED}$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）特例发现

如图1，当 $m=1$， $\mathit{AE}$落在直线 $\mathit{AC}$上时．

①求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{EBC}$；

②填空： $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{CE}}$的值为 　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m\ne 1$， $\mathit{AE}$与边 $\mathit{BC}$相交时，在 $\mathit{AD}$上取一点 $G$，使 $\angle \mathit{ACG}=\angle \mathit{BCE}$， $\mathit{CG}$交 $\mathit{AE}$于点 $H$．探究 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{CE}}$的值（用含 $m$的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{EB}\cdot \mathit{EH}=6$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$的长分别是一元二次方程 $x^2-7x+12=0$的两个根 $(\mathit{BC}>\mathit{AB})$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，边 $\mathit{CD}$交 $y$轴于点 $E$，动点 $P$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发沿折线段 $\mathit{AD}-\mathit{DE}$向点 $E$运动，运动的时间为 $t(0⩽t⩽6)$秒，设 $\mathit{\Delta BPE}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$运动的过程中，是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$是以 $\mathit{BE}$为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，点 $A$坐标为 $(2,0)$，以 $\mathit{OA}$为边在第一象限内作等边 $\mathit{\Delta OAB}$，点 $C$为 $x$轴上一动点，且在点 $A$右侧，连接 $\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为边在第一象限内作等边 $\mathit{\Delta BCD}$，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于 $E$．

（1）①直接回答： $\mathit{\Delta OBC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$全等吗？

②试说明：无论点 $C$如何移动， $\mathit{AD}$始终与 $\mathit{OB}$平行；

（2）当点 $C$运动到使 $A{C}^2=\mathit{AE}·\mathit{AD}$时，如图2，经过 $O$、 $B$、 $C$三点的抛物线为 $y_1$．试问： $y_1$上是否存在动点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$为直角三角形且 $\mathit{BE}$为直角边？若存在，求出点 $P$坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将 $y_1$沿 $x$轴翻折得 $y_2$，设 $y_1$与 $y_2$组成的图形为 $M$，函数 $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}m$的图象 $l$与 $M$有公共点．试写出： $l$与 $M$的公共点为3个时， $m$的取值．

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.