已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知等边三角形 $ABC$ ，过 $A$ 点作 $AC$ 的垂线 $l$ ，点 $P$ 为 $l$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连接 $CP$ ，把线段 $CP$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $CQ$ ，连 $QB$ ．

（1）如图1，直接写出线段 $AP$ 与 $BQ$ 的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$ 、 $B$ 在 $AC$ 同侧且 $AP = AC$ 时，求证：直线 $PB$ 垂直平分线段 $CQ$ ；

（3）如图3，若等边三角形 $ABC$ 的边长为4，点 $P$ 、 $B$ 分别位于直线 $AC$ 异侧，且 $ΔAPQ$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求线段 $AP$ 的长度．

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如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径． $BC$ 是 $⊙ O$ 的弦，弦 $ED$ 垂直 $AB$ 于点 $F$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $ED$ 的延长线于点 $P$

（1）求证： $PC = PG$ ；

（2）判断 $P G^{2} = PD \cdot PE$ 是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若 $G$ 为 $BC$ 中点， $OG = \sqrt{5}$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $DE$ 的长．

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（1）求一次函数 $y = kx + b$ 的表达式；

（2）求点 $P$ 的坐标及 $ΔCPD$ 外接圆半径的长．

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甲：92，95，96，88，92，98，99，100

乙：100，87，92，93，9■，95，97，98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

（1）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．

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如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AB = 3$ ，点 $E$ 为线段 $AB$ 的三等分点（靠近点 $A)$ ，点 $F$ 为线段 $CD$ 的三等分点（靠近点 $C)$ ，且 $CE ⊥ AB$ ．将 $ΔBCE$ 沿 $CE$ 对折， $BC$ 边与 $AD$ 边交于点 $G$ ，且 $DC = DG$ ．

（1）证明：四边形 $AECF$ 为矩形；

（2）求四边形 $AECG$ 的面积．

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如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 $y (cm)$ 与注水时间 $x (\min)$ 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

（1）图②中折线 $EDC$ 表示　　槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 $AB$ 表示　　槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为　　 $cm$ ．

（2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

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