初中数学二次函数综合题试题

如图，已知抛物线 y＝ ax ²﹣2 x+ c经过△ ABC的三个顶点，其中点 A（0，1），点 B（9，10）， AC∥ x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求tan∠ ABC的值；

（3）若点 D为抛物线的顶点，点 E是直线 AC上一点，当△ CDE与△ ABC相似时，求点 E的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y=\mathit{kx}+n$ 过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{BC}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $\mathit{PA}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．设 $\mathit{\Delta PDC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ADC}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $x$轴分别交于 $A(1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$

（1）求此二次函数解析式；

（2）点 $D$为抛物线的顶点，试判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状，并说明理由；

（3）将直线 $\mathit{BC}$向上平移 $t(t>0)$个单位，平移后的直线与抛物线交于 $M$， $N$两点（点 $M$在 $y$轴的右侧），当 $\mathit{\Delta AMN}$为直角三角形时，求 $t$的值．

已知函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 均为一次函数， $m$ 为常数．

（1）如图1，将直线 $\mathit{AO}$ 绕点 $A(-1,0)$ 逆时针旋转 $45°$ 得到直线 $l$ ，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ．若直线 $l$ 恰好是 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 中某个函数的图象，请直接写出点 $B$ 坐标以及 $m$ 可能的值；

（2）若存在实数 $b$ ，使得 $\left|m\right|-(b-1)\sqrt{1-b}=0$ 成立，求函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象间的距离；

（3）当 $m>1$ 时，函数 $y_1=x+2m-1$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $C$ ， $E$ 两点， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象交 $x$ 轴于 $D$ 点，将函数 $y=y_1·y_2$ 的图象最低点 $F$ 向上平移 $\frac{56}{2m+1}$ 个单位后刚好落在一次函数 $y_1=x+2m-1$ 图象上．设 $y=y_1·y_2$ 的图象，线段 $\mathit{OD}$ ，线段 $\mathit{OE}$ 围成的图形面积为 $S$ ，试利用初中知识，探究 $S$ 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到 $S$ 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01． $)$

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot M$的内接四边形，点 $A$， $B$在 $x$轴上， $\mathit{\Delta MBC}$是边长为2的等边三角形，过点 $M$作直线 $l$与 $x$轴垂直，交 $\odot M$于点 $E$，垂足为点 $M$，且点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$．

（1）求过 $A$， $B$， $E$三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形 $\mathit{AMCD}$是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ABP}$的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 y＝ ax ²+ bx﹣5与坐标轴交于 A（﹣1，0）， B（5，0）， C（0，﹣5）三点，顶点为 D．

（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点 D的坐标；

（2）连接 BC与抛物线的对称轴交于点 E，点 P为线段 BC上的一个动点（点 P不与 B、 C两点重合），过点 P作 PF∥ DE交抛物线于点 F，设点 P的横坐标为 m．

①是否存在点 P，使四边形 PEDF为平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．

②过点 F作 FH⊥ BC于点 H，求△ PFH周长的最大值．

如图1，直线 $y=-\frac{4}{3}x+n$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C(0,4)$ ，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B(0,-2)$ ．点 $P$ 为抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $\mathit{PD}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{PD}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PB}$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形时，求线段 $\mathit{PD}$ 的长；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta BDP}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得到△ $\mathit{BD}\text{'}P\text{'}$ ，且旋转角 $\angle \mathit{PBP}\text{'}=\angle \mathit{OAC}$ ，当点 $P$ 的对应点 $P\text{'}$ 落在坐标轴上时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．

（1）求，的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把平移，始终保持点的对应点在抛物线上，点，的对应点分别为，，连接，若点恰好在直线上，求线段的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为3，求点的坐标；

（3）如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　，线段的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点是线段下方抛物线上的一个动点．

①如果在轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．求点的坐标．

②如图2，过点作交线段于点，过点作直线交于点，交轴于点，记，求关于的函数解析式；当取和时，试比较的对应函数值和的大小．

如图，已知抛物线：与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点．

（1）直接写出点，，的坐标；

（2）将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与轴交于，两点在的右侧），顶点的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点在轴上，则在抛物线或上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中， $A(-2,-1)$ ， $B(3,-1)$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AO}$ 延长线于 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，过 $O$ 作 $\mathit{ED}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{AB}$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $\mathit{OBCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OAB}$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{\mathit{\Delta EPQ}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x ²﹣ $\frac{3}{2}$ x的图象如图所示：

（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点 C，则平移后的解析式为 　　．

（2）判断△ ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A、 C、 P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．