初中数学二次函数综合题试题

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点（与点 $B$ ， $C$ 不重合），连接 $\mathit{AP}$ 并延长 $\mathit{AP}$ 交抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CQ}$ ， $\mathit{BQ}$ ，设点 $Q$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式和点 $C$ 的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta BCQ}$ 的面积等于2时，求 $m$ 的值；

（3）在点 $P$ 运动过程中， $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{AP}}$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接．又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；

（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$ 过点 $A(-3,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{BC}$ ；

①如图1，是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCO}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点 $P$ 在 $x$ 轴上方，连接 $\mathit{PA}$ 交抛物线于点 $N$ ， $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{BCO}$ ，点 $M$ 在第三象限抛物线上，连接 $\mathit{MN}$ ，当 $\angle \mathit{ANM}=45°$ 时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

如图，抛物线经过轴上的点和点及轴上的点，经过、两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点从出发，在线段上以每秒1个单位的速度向运动，同时点从出发，在线段上以每秒2个单位的速度向运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大并求出最大值．

③过点作于点，过抛物线上一动点（不与点、重合）作直线的平行线交直线于点．若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．

如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别为，，经过，两点的抛物线与轴的一个交点的坐标为．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若的平分线交于点，交抛物线的对称轴于点，点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，点，分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点，，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$ 过点 $A(-1,0)$ 和 $C(0,3)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2）如图1， $E$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ， $\mathit{EM}\perp x$ 轴，垂足为 $M$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．当 $\mathit{BG}=\mathit{CF}$ 时，求 $\mathit{\Delta EFG}$ 的面积；

（3）如图2， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 的延长线交于点 $H$ ，在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{AHB}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的一个交点为 $A(-1,0)$ ，点 $M(m,0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{\mathit{\Delta EQM}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACE}}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b+\frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{DM}$ 的最小值为 $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x=-1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0,4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{BCO}$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $\mathit{BP}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $\mathit{BP}$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $\mathit{GH}$ ， $\mathit{GQ}$ ， $\mathit{HQ}$ ，得到 $\mathit{\Delta GHQ}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta GHQ}$ 周长的最小值．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x ²﹣ $\frac{3}{2}$ x的图象如图所示：

（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点 C，则平移后的解析式为 　　．

（2）判断△ ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A、 C、 P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．