初中数学二次函数综合题试题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A(0,3)$、 $B(-1,0)$、 $D(2,3)$，抛物线与 $x$轴的另一交点为 $E$．经过点 $E$的直线 $l$将平行四边形 $\mathit{ABCD}$分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 $F$．点 $P$为直线 $l$上方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $t$何值时， $\mathit{\Delta PFE}$的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PAE}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，说明理由．

如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C

（1）直接写出抛物线的函数解析式；

（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；

（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值；

（3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图1，抛物线y＝ax²+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若将抛物线y＝ax²+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y＝|ax²+b|图象上的任意一点P，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）

附阅读材料：

1．在平面直角坐标系中，若A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点间的距离为 $\left|\mathit{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}$，这个公式叫两点间距离公式．

例如：已知A，B两点的坐标分别为（﹣1，2），（2，﹣2），则A，B两点间的距离为 $\left|\mathit{AB}\right|=\sqrt{{(-1-2)}^2+{(2+2)}^2}=5$．

2．因式分解：x⁴+2x²y²+y⁴＝（x²+y²）²．

如图，对称轴为直线 $x=1$的抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0\left)\right(x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{2}{3}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $y$轴于 $E$点；

①设点 $P$为线段 $\mathit{BD}$上一点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线与抛物线交于点 $F$，求 $\mathit{\Delta BDF}$面积的最大值；

②在线段 $\mathit{BD}$上是否存在点 $Q$，使得 $\angle \mathit{BDC}=\angle \mathit{QCE}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．

如图，抛物线过点，且与直线交于、两点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；

（3）设点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．点是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若，求点的坐标；

（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．

如图所示，二次函数的图象（记为抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、，点、的横坐标分别记为，，且．

（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；

（2）若关于的一元二次方程的判别式△．求证：当时，二次函数的图象与轴没有交点．

（3）若，点的坐标为，，过点作直线垂直于轴，且抛物线的的顶点在直线上，连接、、，的延长线与抛物线交于点，若，求的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象关于 $y$ 轴对称，它们与直线 $x=t(t>0)$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图，函数 $F_1$ 为 $y=x+1$ ，当 $t=2$ 时， $\mathit{PQ}$ 的长为 　 　；

（2）函数 $F_1$ 为 $y=\frac{3}{x}$ ，当 $\mathit{PQ}=6$ 时， $t$ 的值为 　　；

（3）函数 $F_1$ 为 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ ，

①当 $t=\frac{\sqrt{b}}{b}$ 时，求 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积；

②若 $c>0$ ，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象与 $x$ 轴正半轴分别交于点 $A(5,0)$ ， $B(1,0)$ ，当 $c⩽x⩽c+1$ 时，设函数 $F_1$ 的最大值和函数 $F_2$ 的最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $c$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $c$ 的取值范围．

如图，抛物线 y＝ ax ²+2 x﹣3与 x轴交于 A、 B两点，且 B（1，0）

（1）求抛物线的解析式和点 A的坐标；

（2）如图1，点 P是直线 y＝ x上的动点，当直线 y＝ x平分∠ APB时，求点 P的坐标；

（3）如图2，已知直线 $y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}$ 分别与 x轴、 y轴交于 C、 F两点，点 Q是直线 CF下方的抛物线上的一个动点，过点 Q作 y轴的平行线，交直线 CF于点 D，点 E在线段 CD的延长线上，连接 QE．问：以 QD为腰的等腰△ QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5$ 经过 $A(-5,0)$ ， $B(-4,-3)$ 两点，与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为该抛物线上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

①当点 $P$ 在直线 $\mathit{BC}$ 的下方运动时，求 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCD}$ ？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x ²﹣ $\frac{3}{2}$ x的图象如图所示：

（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点 C，则平移后的解析式为 　　．

（2）判断△ ABC的形状，并说明理由．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A、 C、 P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由．