如图，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$过点$E(8,0)$，矩形$\mathit{ABCD}$的边$\mathit{AB}$在线段$\mathit{OE}$上（点$A$在点$B$的左侧），点$C$、$D$在抛物线上，$\angle \mathit{BAD}$的平分线$\mathit{AM}$交$\mathit{BC}$于点$M$，点$N$是$\mathit{CD}$的中点，已知$\mathit{OA}=2$，且$\mathit{OA}:\mathit{AD}=1:3$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）$F$、$G$分别为$x$轴，$y$轴上的动点，顺次连接$M$、$N$、$G$、$F$构成四边形$\mathit{MNGF}$，求四边形$\mathit{MNGF}$周长的最小值；

（3）在$x$轴下方且在抛物线上是否存在点$P$，使$\mathit{\Delta ODP}$中$\mathit{OD}$边上的高为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形$\mathit{ABCD}$不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点$K$、$L$，且直线$\mathit{KL}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．