如图，对称轴为直线 $x=1$的抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0\left)\right(x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{2}{3}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $y$轴于 $E$点；

①设点 $P$为线段 $\mathit{BD}$上一点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线与抛物线交于点 $F$，求 $\mathit{\Delta BDF}$面积的最大值；

②在线段 $\mathit{BD}$上是否存在点 $Q$，使得 $\angle \mathit{BDC}=\angle \mathit{QCE}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．