如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A(0,3)$、 $B(-1,0)$、 $D(2,3)$，抛物线与 $x$轴的另一交点为 $E$．经过点 $E$的直线 $l$将平行四边形 $\mathit{ABCD}$分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 $F$．点 $P$为直线 $l$上方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $t$何值时， $\mathit{\Delta PFE}$的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PAE}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，说明理由．