初中数学

如图,已知抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴相交于 A ( - 3 , 0 ) B 两点,与 y 轴相交于点 C ( 0 , 2 ) ,对称轴是直线 x = - 1 ,连接 AC

(1)求该抛物线的表达式;

(2)若过点 B 的直线 l 与抛物线相交于另一点 D ,当 ABD = BAC 时,求直线 l 的表达式;

(3)在(2)的条件下,当点 D x 轴下方时,连接 AD ,此时在 y 轴左侧的抛物线上存在点 P ,使 S ΔBDP = 3 2 S ΔABD .请直接出所有符合条件的点 P 的坐标.

来源:2021年广西贵港市中考数学试卷
  • 更新:2021-07-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + bx 2 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知 A ( 3 , 0 ) ,且 M ( 1 , 8 3 ) 是抛物线上另一点.

(1)求 a b 的值;

(2)连接 AC ,设点 P y 轴上任一点,若以 P A C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,求 P 点的坐标;

(3)若点 N x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与 O A 重合),过点 N NH / / AC 交抛物线的对称轴于 H 点.设 ON = t ΔONH 的面积为 S ,求 S t 之间的函数关系式.

来源:2017年四川省眉山市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴于 A B 两点,交 y 轴于点 C ( 0 , 4 3 ) OA = 1 OB = 4 ,直线 l 过点 A ,交 y 轴于点 D ,交抛物线于点 E ,且满足 tan OAD = 3 4

(1)求抛物线的解析式;

(2)动点 P 从点 B 出发,沿 x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 A 运动,动点 Q 从点 A 出发,沿射线 AE 以每秒1个单位长度的速度向点 E 运动,当点 P 运动到点 A 时,点 Q 也停止运动,设运动时间为 t 秒.

①在 P Q 的运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使得 ΔADC ΔPQA 相似,若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

②在 P Q 的运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使得 ΔAPQ ΔCAQ 的面积之和最大?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2018年四川省乐山市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + bx - 6 x 轴相交于 A B 两点,与 y 轴相交于点 C OA = 2 OB = 4 ,直线 l 是抛物线的对称轴,在直线 l 右侧的抛物线上有一动点 D ,连接 AD BD BC CD

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)若点 D x 轴的下方,当 ΔBCD 的面积是 9 2 时,求 ΔABD 的面积;

(3)在(2)的条件下,点 M x 轴上一点,点 N 是抛物线上一动点,是否存在点 N ,使得以点 B D M N 为顶点,以 BD 为一边的四边形是平行四边形,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2020年山东省菏泽市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线的顶点为 ( 2 , 4 ) 并经过点 ( 2 , 4 ) ,点 A 在抛物线的对称轴上并且纵坐标为 3 2 ,抛物线交 y 轴于点 N .如图1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点 P 为抛物线对称轴上的一点, ΔANP 为等腰三角形,求点 P 的坐标;

(3)如图2,点 B 为直线 y = 2 上的一个动点,过点 B 的直线 l AB 垂直

①求证:直线 l 与抛物线总有两个交点;

②设直线 l 与抛物线交于点 C D (点 C 在左侧),分别过点 C D 作直线 y = 2 的垂线,垂足分别为 E F .求 EF 的长.

来源:2018年四川省广元市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-23
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,二次函数 y = x 2 - ( m + 1 ) x + m ( m 是实数,且 - 1 < m < 0 ) 的图象与 x 轴交于 A B 两点(点 A 在点 B 的左侧),其对称轴与 x 轴交于点 C .已知点 D 位于第一象限,且在对称轴上, OD BD ,点 E x 轴的正半轴上, OC = EC ,连接 ED 并延长交 y 轴于点 F ,连接 AF

(1)求 A B C 三点的坐标(用数字或含 m 的式子表示);

(2)已知点 Q 在抛物线的对称轴上,当 ΔAFQ 的周长的最小值等于 12 5 时,求 m 的值.

来源:2021年江苏省苏州市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-20
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过 A ( 0 , - 1 ) B ( 4 , 1 ) .直线 AB x 轴于点 C P 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点.过点 P PD AB ,垂足为 D PE / / x 轴,交 AB 于点 E

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)当 ΔPDE 的周长取得最大值时,求点 P 的坐标和 ΔPDE 周长的最大值;

(3)把抛物线 y = x 2 + bx + c 平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点 P M 是新抛物线上一点, N 是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点 A B M N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标,并把求其中一个点 M 的坐标的过程写出来.

来源:2021年重庆市中考数学试卷(A卷)
  • 更新:2021-08-17
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,抛物线 y = a x 2 + 2 x + c x 轴交于 A ( 4 , 0 ) B ( 1 , 0 ) 两点,过点 B 的直线 y = kx + 2 3 分别与 y 轴及抛物线交于点 C D

(1)求直线和抛物线的表达式;

(2)动点 P 从点 O 出发,在 x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时, ΔPDC 为直角三角形?请直接写出所有满足条件的 t 的值;

(3)如图2,将直线 BD 沿 y 轴向下平移4个单位后,与 x 轴, y 轴分别交于 E F 两点,在抛物线的对称轴上是否存在点 M ,在直线 EF 上是否存在点 N ,使 DM + MN 的值最小?若存在,求出其最小值及点 M N 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2018年山东省烟台市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,已知二次函数 y = a x 2 + 3 2 x + c ( a 0 ) 的图象与 y 轴交于点 A ( 0 , 4 ) ,与 x 轴交于点 B C ,点 C 坐标为 ( 8 , 0 ) ,连接 AB AC

(1)请直接写出二次函数 y = a x 2 + 3 2 x + c 的表达式;

(2)判断 ΔABC 的形状,并说明理由;

(3)若点 N x 轴上运动,当以点 A N C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点 N 的坐标;

(4)如图2,若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B C 重合),过点 N NM / / AC ,交 AB 于点 M ,当 ΔAMN 面积最大时,求此时点 N 的坐标.

来源:2018年山东省枣庄市中考数学试卷
  • 更新:2021-05-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:

求解体验:

(1)已知抛物线 y = x 2 + bx 3 经过点 ( 1 , 0 ) ,则 b =   ,顶点坐标为  ,该抛物线关于点 ( 0 , 1 ) 成中心对称的抛物线表达式是  

抽象感悟:

我们定义:对于抛物线 y = a x 2 + bx + c ( a 0 ) ,以 y 轴上的点 M ( 0 , m ) 为中心,作该抛物线关于点 M 中心对称的抛物线 y ' ,则我们又称抛物线 y ' 为抛物线 y 的“衍生抛物线”,点 M 为“衍生中心”.

(2)已知抛物线 y = x 2 2 x + 5 关于点 ( 0 , m ) 的衍生抛物线为 y ' ,若这两条抛物线有交点,求 m 的取值范围.

问题解决:

(3)已知抛物线 y = a x 2 + 2 ax b ( a 0 )

①若抛物线 y 的衍生抛物线为 y ' = b x 2 2 bx + a 2 ( b 0 ) ,两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求 a b 的值及衍生中心的坐标;

②若抛物线 y 关于点 ( 0 , k + 1 2 ) 的衍生抛物线为 y 1 ,其顶点为 A 1 ;关于点 ( 0 , k + 2 2 ) 的衍生抛物线为 y 2 ,其顶点为 A 2 ;关于点 ( 0 , k + n 2 ) 的衍生抛物线为 y n ,其顶点为 A n ( n 为正整数).求 A n A n + 1 的长(用含 n 的式子表示).

来源:2018年江西省中考数学试卷
  • 更新:2021-05-24
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y = x 2 + bx + c x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于点 C ,点 A 的坐标为 ( - 1 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , - 3 ) .点 P 为抛物线 y = x 2 + bx + c 上的一个动点.过点 P PD x 轴于点 D ,交直线 BC 于点 E

(1)求 b c 的值;

(2)设点 F 在抛物线 y = x 2 + bx + c 的对称轴上,当 ΔACF 的周长最小时,直接写出点 F 的坐标;

(3)在第一象限,是否存在点 P ,使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的5倍?若存在,求出点 P 所有的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2020年云南省中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线 y = a x 2 + bx + c 的顶点是 A ( 1 , 3 ) ,将 OA 绕点 O 顺时针旋转 90 ° 后得到 OB ,点 B 恰好在抛物线上, OB 与抛物线的对称轴交于点 C

(1)求抛物线的解析式;

(2) P 是线段 AC 上一动点,且不与点 A C 重合,过点 P 作平行于 x 轴的直线,与 ΔOAB 的边分别交于 M N 两点,将 ΔAMN 以直线 MN 为对称轴翻折,得到△ A ' MN ,设点 P 的纵坐标为 m

①当△ A ' MN ΔOAB 内部时,求 m 的取值范围;

②是否存在点 P ,使 S A ' MN = 5 6 S OA ' B ,若存在,求出满足条件 m 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知直线 l 1 : y = - 2 x + 10 y 轴于点 A ,交 x 轴于点 B ,二次函数的图象过 A B 两点,交 x 轴于另一点 C BC = 4 ,且对于该二次函数图象上的任意两点 P 1 ( x 1 y 1 ) P 2 ( x 2 y 2 ) ,当 x 1 > x 2 5 时,总有 y 1 > y 2

(1)求二次函数的表达式;

(2)若直线 l 2 : y = mx + n ( n 10 ) ,求证:当 m = - 2 时, l 2 / / l 1

(3) E 为线段 BC 上不与端点重合的点,直线 l 3 : y = - 2 x + q 过点 C 且交直线 AE 于点 F ,求 ΔABE ΔCEF 面积之和的最小值.

来源:2020年福建省中考数学试卷
  • 更新:2021-05-26
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = x 2 + bx + c x 轴交于 ( 3 , 0 ) B ( 1 , 0 ) 两点,与 y 轴交于点 C ,对称轴 l x 轴交于点 F ,直线 m / / AC ,点 E 是直线 AC 上方抛物线上一动点,过点 E EH m ,垂足为 H ,交 AC 于点 G ,连接 AE EC CH AH

(1)抛物线的解析式为   

(2)当四边形 AHCE 面积最大时,求点 E 的坐标;

(3)在(2)的条件下,连接 EF ,点 P x 轴上一动点,在抛物线上是否存在点 Q ,使得以 F E P Q 为顶点,以 EF 为一边的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

来源:2021年内蒙古赤峰市中考数学试卷
  • 更新:2021-08-19
  • 题型:未知
  • 难度:未知

O 为坐标原点,点 A B 为抛物线 y = x 2 上的两个动点,且 OA OB .连接点 A B ,过 O OC AB 于点 C ,则点 C y 轴距离的最大值 (    )

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

1

来源:2021年广东省中考数学试卷
  • 更新:2021-07-22
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学二次函数的性质试题